Trellis Decoding And Applications For Quantum Error Correction

Compact, graphical representations of error-correcting codes called trellises are a crucial tool in classical coding theory, establishing both theoretical properties and performance metrics for practical use. The idea was extended to quantum error-correcting codes by Ollivier and Tillich in 2005. Here, we use their foundation to establish a practical decoder able to compute the maximum-likely error for any stabilizer code over a finite field of prime dimension. We define a canonical form for the stabilizer group and use it to classify the internal structure of the graph. Similarities and differences between the classical and quantum theories are discussed throughout. Numerical results are presented which match or outperform current state-of-the-art decoding techniques. New construction techniques for large trellises are developed and practical implementations discussed. We then define a dual trellis and use algebraic graph theory to solve the maximum-likely coset problem for any stabilizer code over a finite field of prime dimension at minimum added cost. Classical trellis theory makes occasional theoretical use of a graph product called the trellis product. We establish the relationship between the trellis product and the standard graph products and use it to provide a closed form expression for the resulting graph, allowing it to be used in practice. We explore its properties and classify all idempotents. The special structure of the trellis allows us to present a factorization procedure for the product, which is much simpler than that of the standard products. Finally, we turn to an algorithmic study of the trellis and explore what coding-theoretic information can be extracted assuming no other information about the code is available. In the process, we present a state-of-the-art algorithm for computing the minimum distance for any stabilizer code over a finite field of prime dimension. We also define a new weight enumerator for stabilizer codes over F_2 incorporating the phases of each stabilizer and provide a trellis-based algorithm to compute it.Ph.D

Τεχνικές Κωδικοποίησης Καναλιού με Έμφαση στους Συγκεραστικούς και στους Τούρμπο Κώδικες

Στην παρούσα διατριβή προτείνεται η σχεδίαση συγκεκριμένης κατηγορίας κωδίκων χαμηλής πολυπλοκότητας με κατάλληλη προσαρμογή του διαγράμματος trellis των διάτρητων συγκεραστικών κωδίκων. Στόχος είναι η βελτίωση της απόδοσης, με λογική αύξηση της πολυπλοκότητας του διαγράμματος trellis. Στα πλαίσια της έρευνας παρέχεται ένας ικανοποιητικός αριθμός νέων κωδίκων διαφόρων ρυθμών και τιμών πολυπλοκότητας. Σε πολλές περιπτώσεις διαπιστώνεται πως ελάχιστη αύξηση της πολυπλοκότητας μπορεί να οδηγήσει σε μεγάλη βελτίωση της απόδοσης, συγκριτικά με τους διάτρητους συγκεραστικούς κώδικες. Παρουσιάζεται επίσης μια μέθοδος σχεδίασης νέων ευέλικτων συγκεραστικών κωδίκων, συνδυάζοντας τις τεχνικές της απαλοιφής μονοπατιών του διαγράμματος trellis και της απαλοιφής κωδικών bit. Οι νέοι κώδικες μπορούν να μεταβάλλουν το ρυθμό τους και την πολυπλοκότητα του διαγράμματος trellis, και κατ' επέκτασιν την υπολογιστική πολυπλοκότητα της διαδικασίας αποκωδικοποίησης, οδηγώντας σε σχήματα κωδικοποίησης που κάνουν αποδοτικότερη διαχείριση των πόρων του συστήματος, εν συγκρίσει με τους κλασικούς συγκεραστικούς κώδικες μεταβλητού ρυθμού. Τέλος, εξετάζεται η δυνατότητα εφαρμογής των προαναφερθέντων αποτελεσμάτων χρησιμοποιώντας αναδρομικούς συγκεραστικούς κωδικοποιητές, οι οποίοι είναι κατάλληλοι ως περιεχόμενοι κωδικοποιητές των τούρμπο κωδίκων. Στόχος είναι η σχεδίαση αποδοτικών ευέλικτων τούρμπο σχημάτων κωδικοποίησης. Προσομοιώσεις δείχνουν ότι σε συγκεκριμένες περιοχές τιμών του σηματοθορυβικού λόγου, μια σημαντική μείωση της υπολογιστικής πολυπλοκότητας της αποκωδικοποίησης μπορεί ακόμα και να μειώσει το ρυθμό εσφαλμένων bit.In this thesis, a family of low complexity convolutional codes is constructed, by modifying appropriately the trellis diagram of punctured convolutional codes. The goal is to improve performance at the expense of a reasonable low increase of the trellis complexity. Many new convolutional codes of various code rates and values of complexity are provided. In many cases, a small increase in complexity can lead to a great improvement of performance, compared to punctured convolutional codes. Furthermore, a method is presented for designing new flexible convolutional codes, by combining the techniques of path pruning and puncturing. The new codes can vary their rate, as well as the complexity of their trellis diagram, and hence the computational complexity of the decoding algorithm, leading to coding schemes that manage more efficiently the system resources, compared to variable rate convolutional codes. Finally, the possibility of applying the aforementioned results using recursive convolutional encoders, which are used as constituent encoders in turbo codes, is investigated. The goal is to construct flexible turbo coding schemes. Simulation results indicate that in specific ranges of the SNR, a decrease in the computational complexity of the decoding procedure can even result to a decrease in the bit error rate