Restricted Isometry Property for General p-Norms

The Restricted Isometry Property (RIP) is a fundamental property of a matrix which enables sparse recovery. Informally, an $m \times n$ matrix satisfies RIP of order $k$ for the $\ell_p$ norm, if $\|Ax\|_p \approx \|x\|_p$ for every vector $x$ with at most $k$ non-zero coordinates. For every $1 \leq p < \infty$ we obtain almost tight bounds on the minimum number of rows $m$ necessary for the RIP property to hold. Prior to this work, only the cases $p = 1$, $1 + 1 / \log k$, and $2$ were studied. Interestingly, our results show that the case $p = 2$ is a "singularity" point: the optimal number of rows $m$ is $\widetilde{\Theta}(k^{p})$ for all $p\in [1,\infty)\setminus \{2\}$, as opposed to $\widetilde{\Theta}(k)$ for $k=2$. We also obtain almost tight bounds for the column sparsity of RIP matrices and discuss implications of our results for the Stable Sparse Recovery problem.Comment: An extended abstract of this paper is to appear at the 31st International Symposium on Computational Geometry (SoCG 2015

Эффективность обнаружения сигнала с неизвестным неэнергетическим параметром с использованием алгоритмов на основе теории Compressive Sensing

Полный текст доступен на сайте издания по подписке: http://radio.kpi.ua/article/view/S0021347018080046В работе рассмотрена задача обнаружения квазидетерминированных сигналов на фоне шума при цифровой обработке. При этом в качестве критерия синтеза подобных алгоритмов использован критерий минимума затрачиваемых арифметических операций при заданной эффективности обнаружения. С этой целью подобные алгоритмы синтезированы на основе принципов теории Compressive Sensing. С целью проверки эффективности разработанных алгоритмов проведено их компьютерное моделирование, в результате которого определено, каким образом полная вероятность ошибки обнаружения зависит от отношения сигнал/шум и степени сжатия (отношение числа элементов в векторах достаточной статистики до и после «сжатия»). Определены потери в эффективности обнаружения предложенных алгоритмов по сравнению с классическим, оптимальным в соответствии с методом максимального правдоподобия, при различных значениях отношения сигнал/шум и степени сжатия. Одновременно, указан выигрыш в количестве используемых арифметических операций предложенных алгоритмов по сравнению с классическим. Приведены результаты, позволяющие сделать обоснованный выбор алгоритма обнаружения в зависимости от имеющихся аппаратных возможностей и допустимого ухудшения эффективности обнаружения