Linear scale-spaces in image processing: drift-diffusion and connections to mathematical morphology

Auf Skalenräumen basierende Ideen sind aus dem heutigen Alltag nicht mehr wegzudenken. Wir beginnen mit einem auf der homogenen Diffusionsgleichung aufbauenden Skalenraum und verfolgen zwei Strategien zur Konstruktion neuer Skalenräume. Als erstes beweisen wir, dass der lineare Osmosefilter, welcher auf einer Drift-Diffusionsgleichung beruht, eine Reihe von wichtigen Skalenraumeigenschaften erfüllt. Der zusätzliche Driftterm ermöglicht einen großen Freiraum in der Modellierung und hat sich bereits als vielversprechend in der Bildverarbeitung etabliert. Allerdings sorgt er auch dafür, dass der stationäre Zustand nicht konstant ist, im Gegensatz zu bisher untersuchten Skalenräumen. Bei dem Beweis von Vereinfachungseigenschaften im Sinne von Lyapunov-Funktionalen führt dies zu einer Reihe von Problemen. Während der erste Teil der Arbeit einen neuen Skalenraum einführt, werden wir uns im zweiten Teil den beiden meist studierten Klassen von Skalenräumen widmen: den linearen shift-invarianten und den morphologischen Skalenräumen. Mithilfe der neu eingeführten Cramer-Fourier-Transformation zeigen wir, wie sich beide Klassen sowohl auf struktureller Ebene als auch auf der Ebene der Evolutionsgleichungen verbinden lassen. Dieses Resultat erweitert ein Ergebnis über die strukturelle Gleichheit des Gaußschen Skalenraumes mit seinem morphologischen Gegenstück. Weiterhin beweisen wir, dass die entscheidenden Eigenschaften der bisher verwendeten Cramer-Transformation erhalten bleiben.Scale-space ideas are ubiquitous and indispensable for modern image analysis. Starting from a linear scale-space based on a homogeneous diffusion equation we pursue two strategies to create new scale-spaces. First, we rigorously prove that the linear osmosis filtering, which is based on a drift-diffusion equation, fulfils several important scale-space properties. The additional drift term introduces a modelling choice that has proved valuable in the past for image processing applications. However, in contrast to previously analysed scale-spaces, the steady state is non-constant. This leads to a number of challenges when aiming for image simplification properties in terms of Lyapunov functionals. Whereas we analyse a new scale-space in the first part, the second part picks up the two most studied classes of scale-spaces: linear shift-invariant and morphological scale-spaces. By introducing the Cramer-Fourier transform, we can connect these classes both on a structural level and on the level of evolution equations. This extends a structural similarity result between the Gaussian scale-space and its morphological counterpart. While the decisive properties of the previously used Cramer transform are preserved, our new transformation has many benefits in an image processing context. We use the Cramer-Fourier transform to construct not yet discovered scale-spaces

Mathematical Imaging and Surface Processing

Within the last decade image and geometry processing have become increasingly rigorous with solid foundations in mathematics. Both areas are research fields at the intersection of different mathematical disciplines, ranging from geometry and calculus of variations to PDE analysis and numerical analysis. The workshop brought together scientists from all these areas and a fruitful interplay took place. There was a lively exchange of ideas between geometry and image processing applications areas, characterized in a number of ways in this workshop. For example, optimal transport, first applied in computer vision is now used to define a distance measure between 3d shapes, spectral analysis as a tool in image processing can be applied in surface classification and matching, and so on. We have also seen the use of Riemannian geometry as a powerful tool to improve the analysis of multivalued images. This volume collects the abstracts for all the presentations covering this wide spectrum of tools and application domains

Generalised morphological image diffusion

International audienceRelationships between linear and morphological scale-spaces have been considered by various previous works. The aim of this paper is to study how to generalise the diffusion-based approaches in order to introduce nonlinear filters whose effects mimic the asymmetric behaviour of morphological dilation and erosion, as well as other evolved morphological filters. A methodology based on the counter-harmonic mean is adopted here. Details of numerical implementation are discussed and results are provided to illustrate the various studied cases: isotropic, nonlinear and coherence-enhancing diffusion. We also found a new way to derive the classical link between Gaussian scale-space and dilation/erosion scale-spaces based on quadratic structuring functions. We have included some preliminary applications of the generalised morphological diffusion to solve image processing problems such as denoising and image enhancement in the case of asymmetric bright/dark image properties

Denoising and enhancement of digital images : variational methods, integrodifferential equations, and wavelets

The topics of this thesis are methods for denoising, enhancement, and simplification of digital image data. Special emphasis lies on the relations and structural similarities between several classes of methods which are motivated from different contexts. In particular, one can distinguish the methods treated in this thesis in three classes: For variational approaches and partial differential equations, the notion of the derivative is the tool of choice to model regularity of the data and the desired result. A general framework for such approaches is proposed that involve all partial derivatives of a prescribed order and experimentally are capable of leading to piecewise polynomial approximations of the given data. The second class of methods uses wavelets to represent the data which makes it possible to understand the filtering as very simple pointwise application of a nonlinear function. To view these wavelets as derivatives of smoothing kernels is the basis for relating these methods to integrodifferential equations which are investigated here. In the third case, values of the image in a neighbourhood are averaged where the weights of this averaging can be adapted respecting different criteria. By refinement of the pixel grid and transfer to scaling limits, connections to partial differential equations become visible here, too. They are described in the framework explained before. Numerical aspects of the simplification of images are presented with respect to the NDS energy function, a unifying approach that allows to model many of the aforementioned methods. The behaviour of the filtering methods is documented with numerical examples.Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Verfahren zum Entrauschen, qualitativen Verbessern und Vereinfachen digitaler Bilddaten. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf den Beziehungen und der strukturellen Ähnlichkeit zwischen unterschiedlich motivierten Verfahrensklassen. Insbesondere lassen sich die hier behandelten Methoden in drei Klassen einordnen: Bei den Variationsansätzen und partiellen Differentialgleichungen steht der Begriff der Ableitung im Mittelpunkt, um Regularität der Daten und des gewünschten Resultats zu modellieren. Hier wird ein einheitlicher Rahmen für solche Ansätze angegeben, die alle partiellen Ableitungen einer vorgegebenen Ordnung involvieren und experimentell auf stückweise polynomielle Approximationen der gegebenen Daten führen können. Die zweite Klasse von Methoden nutzt Wavelets zur Repräsentation von Daten, mit deren Hilfe sich Filterung als sehr einfache punktweise Anwendung einer nichtlinearen Funktion verstehen lässt. Diese Wavelets als Ableitungen von Glättungskernen aufzufassen bildet die Grundlage für die hier untersuchte Verbindung dieser Verfahren zu Integrodifferentialgleichungen. Im dritten Fall werden Werte des Bildes in einer Nachbarschaft gemittelt, wobei die Gewichtung bei dieser Mittelung adaptiv nach verschiedenen Kriterien angepasst werden kann. Durch Verfeinern des Pixelgitters und Übergang zu Skalierungslimites werden auch hier Verbindungen zu partiellen Differentialgleichungen sichtbar, die in den vorher dargestellten Rahmen eingeordnet werden. Numerische Aspekte beim Vereinfachen von Bildern werden anhand der NDS-Energiefunktion dargestellt, eines einheitlichen Ansatzes, mit dessen Hilfe sich viele der vorgenannten Methoden realisieren lassen. Das Verhalten der einzelnen Filtermethoden wird dabei jeweils durch numerische Beispiele dokumentiert

Relativistic Scale-Spaces

Abstract. In this paper we extend the notion of Poisson scale-space. We propose a generalisation inspired by the linear parabolic pseudodifferential operator √ − ∆ + m 2 −m, 0 ≤ m, connected with models of relativistic kinetic energy from quantum mechanics. This leads to a new family of operators {Q m t | 0 ≤ m, t} which we call relativistic scale-spaces. They provide us with a continuous transition from the Poisson scale-space {Pt | t ≥ 0} (for m = 0) to the identity operator I (for m − → +∞). For any fixed t0> 0 the family {Q m t0 | m ≥ 0} constitutes a scale-space connecting I and Pt0. In contrast to the α-scale-spaces the integral kernels for Q m t can be given in explicit form for any m, t ≥ 0 enabling us to make precise statements about smoothness and boundary behaviour of the solutions. Numerical experiments on 1D and 2D data demonstrate the potential of the new scale-space setting