Determination Of Parameter Regions For Diagonal Dominance And Stability Of Mimo Systems

Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2017Thesis (Ph.D.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2017Endüstride karşılaşılan sistemlerin birçoğu birden fazla giriş ve çıkış değişkenine sahiptir. Bu tarz sistemler SISO sistemlerle karşılaştırıldıklarında, birçok farklı yapısal özellikleri göze çarpmaktadır. Örneğin, en genel durumda herhangi bir çıkış tüm girişlerden az veya çok etkilenir. Diğer taraftan, kontrolör türleri açısından bakıldığında ise araştırmacılar genel olarak "merkezi" ve "merkezi olmayan" olmak üzere iki farklı kontrol yapısına odaklanmışlardır. Ancak, ayarlanacak parametre sayısının azlığı, dayanıklılık ve operatör açısından kullanım kolaylığı gibi nedenlerle merkezi olmayan kontrol yapılarının uygulamalarda daha sık tercih edildiği ileri sürülebilir. Farklı giriş çıkış çiftleri arasındaki etkileşimlerin önemli boyutlara ulaştığı durumlarda ise bu tür kontrolörlerin performansı ve etkinliği genel olarak azalır. Yukarıda bahsedilen nedenlerden dolayı MIMO sistemlerde etkileşimlerin azaltılması özellikle merkezi olmayan kontrolör tasarımı açısından büyük bir önem arz etmektedir. MIMO sistemlerde etkileşimleri azaltmak amacıyla kullanılabilecek yöntemlerden bir tanesi de tam köşegenleştirme ile karşılaştırıldığında daha zayıf bir koşulun sağlanmasını gerektiren köşegen baskınlık kavramıdır. Köşegen baskın sistemlerde bir giriş değişkeni özel bir çıkış değişkeni ile diğer çıkışlara oranla çok daha fazla ilişkilidir. Bu nedenle, bu tezin en temel hedeflerinden bir tanesi MIMO sistemlerde köşegen baskınlık koşullarını sağlayan kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesidir. Buna ek olarak, en genel durumda köşegen baskınlık kararlılığı gerektirmediğinden çok değişkenli sistemleri kararlı kılan kontrolör parametrelerinin belirlenmesi de yine bu tez kapsamında amaçlanan temel hedeflerden bir diğeridir. Sonuç olarak, merkezi olmayan kontrolör tasarımına ön adım oluşturacak şekilde hem köşegen baskınlık hem de kararlılık koşullarının sağlandığı kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesi hedeflenmektedir. Literatürde köşegen baskınlık kavramının önemi özellikle Rosenbrock'un 1970'lerin başındaki çalışmalarından sonra artmıştır. Ancak süreç içerisinde araştırmacıların büyük bir çoğunluğu köşegen baskınlık ile ilgili olarak belirli bir ölçütü en iyileyen kontrolör parametre çiftlerinin belirlenmesine yönelmiştir. Bu durum ise bir sonraki tasarım adımında kısıtlamalara neden olabilmektedir. Buna ek olarak, parametre belirsizliği durumunda köşegen baskınlığın korunup korunmadığı ve/veya belirlenen parametre çiftinin köşegen baskınlık sınırlarına ne kadar yakın olduğu genel olarak detaylı bir şekilde araştırılmamıştır. Bu tez kapsamında köşegen baskınlık üzerindeki gerek ve yeter koşulların belirlenmesi hedeflendiğinden, özel olarak TITO sistemler ve köşegen yapıdaki kontrolör durumu detaylı olarak ele alınmıştır. Bu tarz sistemleri, verilen sabit bir frekans değerinde köşegen baskın kılan kontrolör parametreleri üzerindeki gerek ve yeter koşullar belirlenmiştir. Elde edilen sonuçlar sonlu sayıdaki frekans noktası için de geçerlidir ve pratik açıdan bakıldığında verilen bir frekans aralığına da genişletilebilir durumdadır. Buna ek olarak, daha iyi baskınlık oranı sağlayan parametre bölgelerinin belirlenmesine yönelik olarak orjinal köşegen baskınlık tanımına ağırlık faktörleri eklenmiş ve bu durum için gerek ve yeter koşullar belirlenmiştir. Son olarak da statik köşegen kontrolör durumunda sütun köşegen baskınlığı için kontrolör parametre bölgelerinin yapısını değiştiren kritik frekans değerleri belirlenmiştir. Elde edilen sonuçların köşegen baskınlık açısından etkinlikleri, örnek sistemler ve farklı kontrolörler üzerinden, Gershgorin Diskleri ve köşegen baskınlık çizimleri kullanılarak gösterilmiştir. MIMO sistemleri kapalı çevrimde kararlı kılan kontrolör parametrelere bölgelerinin belirlenmesi için ise Lyapunov eşitliği temelli bir yöntem ileri sürülmüştür. Bu yöntem sayesinde frekans tabanlı yöntemlerde karşılaşılan tekil frekansların hesaplanması ve/veya frekans taraması gibi adımlara olan ihtiyaç ortadan kaldırılmıştır. Temel Lyapunov yaklaşımı açısından bakıldığında LTI sistemler için Lyapunov matrisi olan P(k)'nın pozitif tanımlılığı gerek ve yeter koşuldur. Ancak, Lyapunov matrisi P(k)'nın pozitif tanımlılığı en genel durumda 2n adet parametrik eşitliğin çözümünü gerektirir. Yapılan analizle bu sayı önce n+1'e indirilmiştir. Ardından, Lyapunov matris eşitliği Kronecker çarpımları ve vektörizasyon operatörü kullanılarak standart forma indirgenmiş ve tanımlanan yeni M(k) matrisinin determinantının tartışılan sistem için bir kararlılık sınırı oluşturduğu sistem matrisi A(k), Lyapunov matrisi P(k) ve Kronecker çarpımları üzerinden tanımlanan M(k)'nin birbirleriyle olan ilişkileri üzerinden gösterilmiştir. Dolayısıyla M(k) matrisinin determinantını sıfır ve sonsuz yapan kontrolör parametrelerinin ilgili sistemin kararlılık sınırını oluşturduğu belirlenmiştir. Diğer bir deyişle, kararlılık sınırlarının belirlenmesi en fazla iki adet parametrik ifadenin çözümüne indirgenmiştir. Lyapunov formulasyonunda kullanılan P(k) ve Q matrislerinin simetrikliğinden kaynaklanan M(k) matrisinin determinantınındaki tekrarlanan özdeğerler ise eleminasyon ve duplikasyon matrisleri kullanılarak uygulanan dönüşümler yardımıyla ortadan kaldırılmıştır. Önerilen yöntemin literatürde var olan PSA gibi yöntemlerle ilişkisi ise sonlu ve sonsuz kök sınırları üzerinden gösterilmiştir. Kararlı kılan kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesinde Lyapunov temelli bir yaklaşım kullanıldığından öne sürülen yöntem sadece MIMO sistemlerde değil Lyapunov formülasyonunun kurulabildiği çok geniş bir sistem sınıfına ve alt problemlere de uygulanabilir durumdadır. Bu durumu gösterebilmek amacıyla ilk olarak MIMO sistemlerde kontolör entegrasyonu problemi ele alınmıştır. MIMO kontrolörlerde meydana gelebilecek olası hataları göz önünde bulundururak olası hata durumlarında dahi sistemin kararlılığını garanti etmeyi amaçlayan bu probleme bir çözüm önerisi sunulmuştur. Önerilen yöntemin etkinliği literatürde var olan yaklaşımlar üzerinden karşılaştırmalı olarak gösterilmiştir. Buna ek olarak, yine önerilen Lyapunov eşitliği temelli yöntemin olası diğer kullanım alanlarını vurgulamak amacıyla ayrık zamanlı sistemlerin kararlılığı ayrıntılı olarak tartışılmıştır. Bu durumda önerilen yaklaşımın nasıl değiştiği vurgulanmıştır. Lyapunov temelli yaklaşım ile kararlılık sınırlarının analitik ifadelerinin belirlenmesi de mümkündür. Bu durum da özellikle optimizasyon temelli tasarım yöntemlerinde farklı kullanım alanları açmaktadır. Bu kapsamda dayanıklı MPC problemi detaylı olarak ele alınmıştır. Lyapunov yöntemi kullanılarak belirlenen analitik kararlılık sınırları dayanıklı MPC problem formülasyonunda kullanılarak ele alınan problem nominal MPC problemine dönüştürülmüştür. Önerilen yöntemin etkinliği literatürde sıklıkla kullanılan bir sistem üzerinden de gösterilmiştir. Tam köşegenleştirme ile karşılaştırıldığında, köşegen baskınlık daha zayıf bir koşul olarak ortaya çıkar. Bu nedenle, parametre belirsizlikleri durumunda dahi bu koşulu sağlayan kontrolör parametrelerini belirlemek mümkün hale gelir. Bu tez kapsamında, TFM elemanlarının aralık tipi parametre belirsizliği içerdiği TITO sistemler detaylı olarak tartışılmıştır. Bu tür sistemleri parametre belirsizlikleri durumunda dahi köşegen baskın kılan statik köşegen kontrolörlerin belirlenmesi hedeflenmiştir. Bu hedef doğrultusunda üçgen eşitsizliği ve tarama yöntemlerine dayanan iki farklı konservatif yöntem önerilmiştir. Bu yaklaşımlar kullanılarak tartışılan problem ilk aşamada nominal sistemin ağırlıklandırılmış baskınlık problemine dönüştürülmüştür. Sonrasında da önceki bölümlerde elde edilen sonuçlar kullanılarak sonuca gidilmiştir. Son olarak da belirsiz parametre içeren çok değişkenli sistemlerin kararlılığı tartışılmıştır. Bu aşamada belirsiz parametreler için literatürde kullanılan iki farklı varsayıma yer verilmiştir. İlk varsayımda belirsiz parametreler üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur ve sistemi kararlı kılan tüm belirsiz parametre bölgelerinin belirlenmesi hedeflenmektedir. Bu durumda önerilen Lyapunov temelli yöntem direkt olarak uygulanabilir durumdadır. Bu yöntemin aksine literatürde var olan bir çok yöntemde ise belirsiz parametre sayısı ve türü üzerinde bir takım varsayımlarda bulunularak sonuçlar elde edilmiştir. Bu tez kapsamında önerilen yöntemin doğruluğu literatürde var olan farklı örnek durumlar üzerinden gösterilmiştir. Diğer taraftan, bazı durumlarda belirsiz sistem parametrelerinin alabileceği minimum ve maksimum değerler belirlidir. İlgili parametrenin bilinen bu değerler arasında bir değer aldığı tüm durumlarda polinom ailesinin kararlı kalıp kalmadığının belirlenmesi hedeflenir. SISO sistemler için bazı özel durumlarda sonlu sayıda polinomun kararlı olmasının tüm polinom ailesinin kararlığını garanti ettiği gösterilmiştir. MIMO sistemlerde ise en basit durumlarda bile kontrolör parametrelerinin ve TFM'yi oluşturan transfer fonksiyonlarının çarpımları karakteristik polinomda görünmektedir. %SISO sistemlerle karşılaştırıldığında bu tarz durumlarda dayanıklı kararlılığı sağlayan kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesi görece daha zordur. Tartışılan bu problemde karakteristik polinom, hem alt ve üst sınırları bilinen belirsiz parametreleri hem de serbest kontrolör parametrelerini içermektedir. Bu tez kapsamında yukarı yakınsama yaklaşımından da yararlanılarak, Kharitonov Teoremi ve önerilen Lyapunov eşitliği temelli yaklaşımla bu tarz sistemleri dayanıklı kararlı kılan kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesine yönelik bir yöntem önerilmiştir. Önerilen bu yöntem Kharitonov Teoremi de kullanıldığından hesaplama yükünü önemli oranda azaltmaktadır ancak değişmez kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesinde ek analiz adımlarını da beraberinde getirmektedir. Özetle, bu tez kapsamında nominal ve parametre belirsiz MIMO sistemeleri hem köşegen baskın kılan hem de kararlı yapan köşegen tipteki kontrolörlerin parametre bölgelerinin belirlenmesi hedeflenmiştir. Köşegen baskınlık açısından bakıldığında gerek ve yeter koşulların belirlenmesi hedeflendiğinden TITO sistemler üzerinden sonuçlar elde edilmiştir. Diğer taraftan kararlı kılan kontrolör parametrelerinin belirlenmesinde ise herhangi bir sistem veya kontrolör kısıtı bulunmamaktadır.Most of the industrial plants include more than one input and output variable. Compared to Single Input Single Output (SISO) systems, such systems include different structural properties. For instance, an output variable is effected by all input variables in general. On the other hand, in terms of controller structures, researchers have focused on two main approaches for such systems, which are "centralized" and "decentralized" controllers. However, it can be proposed that decentralized controllers are preferred more in practice due to various reasons like less number of tuning parameter, possibility to apply single loop controller design methods, ease of use for operators etc. Whereas, in general, performance and efficiency of such controllers reduce when there are significant interactions between different input-output pairs in a Multi Input Multi Output (MIMO) system. Reducing the interactions between different input-output pairs in MIMO systems is crucial in terms of decentralized controller design due to the previously mentioned reasons. Diagonal dominance which is a weaker condition compared to decoupling, is one of the approaches that can be used to reduce interactions in MIMO systems. One input variable is strongly related with one specific output variable in diagonal dominant systems. One of the main aims of this thesis is to determine controller parameter regions that achieve diagonal dominance conditions. Additionally, it is also aimed to determine stabilizing parameter spaces, since diagonal dominance does not indicate stability in general. As a result, controller parameter regions that achieve both diagonal dominance and stability conditions in closed loop are determined in this thesis as the first step of decentralized controller design. In literature, the diagonal dominance concept has gained attraction since the pioneering studies of Rosenbrock in early 1970s. However, in the meantime most of the researchers focused on determining a specific controller parameter pair that optimizes a predetermined condition. Such a case may restrict the designer in the next steps of the design process. Additionally, the number of studies are limited that investigates the diagonal dominance characteristics of the determined controller parameters in case uncertainties or checks how the system is close to the diagonal dominance boundaries. Two Input Two Output (TITO) systems are special subset of MIMO systems since in practice many MIMO systems can be treated as several TITO subsystems as proposed in literature. In terms of diagonal dominance, particularly, TITO systems and diagonal type controllers are discussed in detail, since it is aimed to determine necessary and sufficient conditions on diagonal dominance in terms of controller parameters. For such systems, exact conditions on the controller parameters in terms of both column and row diagonal dominance are derived at a given fixed frequency. Derived results are also valid for finite number of frequencies and practically applicable for a given frequency range. Moreover, weighting factors are added to the original definition of diagonal dominance in order to derive controller parameter regions that achieve better diagonal dominance ratios. Necessary and sufficient conditions on diagonal type controllers are also derived for the weighted diagonal dominance problem. Lastly, critical frequencies that may possibly change the interval characteristics of static diagonal controllers for the column diagonal dominance are derived. Effectiveness of the derived results in terms of diagonal dominance are demonstrated over several case studies using Gershgorin Disc plots and diagonal dominance ratio plots. On the other hand, a Lyapunov equation based stability mapping approach is proposed within the scope of this thesis to derive stabilizing controller parameter spaces of a given MIMO system. In the present approach, it is not necessary to calculate singular frequencies or apply frequency sweeping that most of the frequency based approaches require. From the Lyapunov point of view, positive definiteness of the Lyapunov matrix P(k) is necessary and sufficient for LTI systems. However, considering the numerators and denominators of the leading principal minors it is required to solve 2n parametric equation in order to determine positive definiteness of P(k). This number is reduced to n+1 at the first step. After that, Lyapunov matrix equation is reduced to the standard set of equation representation using the Kronecker products and vectorization operator. At this point, a new matrix M(k) is defined over the Kronecker products and it is shown that determinant of M(k) is the product of binary combinations of A(k). Using the relations between the system matrix A(k), Lyapunov matrix P(k) and M(k), it is shown that it is sufficient to solve at most 2 parametric equations which are |M(k)|=0 and |M(k)|->infinity. Determinant of M(k) includes redundant multiplications of binary combinations of eigenvalue pairs of A(k) due to the matrices P(k) and Q that are used in Lyapunov formulation are symmetric. In order to eliminate the redundant multiplications and reduce the computational complexity, elimination and duplication matrices are introduced as transformation matrices. In addition to MIMO systems, the proposed stability mapping approach is applicable to a broad range of systems, further system classes and sub problems where Lyapunov formulation is possible. In order to demonstrate these properties of the proposed approach, firstly, controller integrity problem of MIMO systems is discussed in detail. An approach is proposed to determine stabilizing controller parameter regions even in case of possible failures related with controller parameters. A benchmark case study is included and effectiveness of the proposed approach is shown over a comparative study with a currently existing approach. Additionally, discrete time systems is also discussed in detail to demonstrate the further application areas of the proposed Lyapunov equation based stability mapping approach. In this case, the structure of the Lyapunov equation varies slightly compared to the continuous time case. Another benefit of the proposed Lyapunov equation based approach is the opportunity to determine analytical expressions of stability boundaries. So that, it becomes possible to use Lyapunov equation based stability mapping approach in optimization based approaches by inserting the stability boundaries as constraints on such approaches. This case is also addressed through the robust Model Predictive Control (MPC) problem. Analytical stability boundaries which is derived in the off-line phase using the proposed stability mapping approach is inserted to the robust MPC problem formulation to achieve stability. In this way, robust MPC problem is transformed into the nominal MPC problem. The effectiveness of the proposed method is also demonstrated through a benchmark system that is frequently used in the literature. Diagonal dominance proposes weaker conditions compared to decoupling. As a result, it becomes possible to determine controller parameter regions that achieve diagonal dominance in case of parametric uncertainties. Within the scope of this thesis, two conservative approaches which are based on triangular inequality and griding are proposed for the systems that include interval type uncertainties in Transfer Function Matrix (TFM) elements. Using these approaches diagonal dominance problem of a parametric uncertain system is transferred to the weighted diagonal dominance problem of the nominal plant. After that, previously derived results are used to determine static diagonal controller parameter regions. Lastly, stability of parameter uncertain multivariable systems is discussed in order to determine robustly stabilizing parameter spaces. There are two main assumptions on uncertain parameters in literature. In the first assumption, there is no restriction on uncertain parameters and it is aimed to determine all uncertain parameter spaces that preserve stability of the closed loop system. In this case, proposed Lyapunov equation based stability mapping approach is directly applicable. Contrary to this approach, many methods that is currently available in the literature include the results obtained by making some assumptions on the number and the type of uncertain parameters. The validity of the Lyapunov equation based method has been demonstrated through different benchmark case studies. On the other hand, in some cases, it is assumed that upper and lower bounds of uncertain parameters are known. It is aimed to determine whether the whole polynomial family is stable in all cases where the uncertain parameters take any value between these known intervals. In some special cases, it was shown in literature that stability of finite number fixed polynomials guarantee the stability of whole uncertain polynomial family in case of SISO systems. However, the characteristic polynomial of MIMO systems includes the multiplication of free controller parameters and individual transfer functions even in the simplest cases. As a result, it can be proposed that compared to SISO systems, it is more difficult to determine the controller parameter areas that provide robust stability in such systems. In the discussed problem characteristic equation includes both uncertain parameters that have known upper and lower bounds and free controller parameters. In this thesis, an approach is presented to determine robustly stabilizing parameter spaces using the Kharitonov Theorem in accordance with the Lyapunov method by applying overbounding method on characteristic polynomial coefficients. The proposed method reduces the computational complexity significantly, since Kharitonov Theorem is used. However, it must also be noted that calculation of invariant controller parameter sub regions in terms of overbounding also introduces additional analysis steps. As a conclusion, in this thesis, it is mainly focused on determining controller parameter regions of the diagonal type controllers that make both nominal and parametric MIMO systems diagonal dominant and stable. The results are derived through TITO systems from the standpoint of diagonal dominance, since it is aimed to determine the necessary and sufficient conditions. On the other hand, there is no restriction on the system and controller type for the proposed stability mapping approach.DoktoraPh.D