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Methods for constraint-based conceptual free-form surface design
Zusammenfassung
Der constraint-basierte Entwurf von Freiformfl„chen ist eine m„chtige Methode im
Computer gest�tzten Entwurf. Bekannte Realisierungen beschr„nken sich jedoch meist
auf Interpolation von Rand- und isoparametrischen Kurven. In diesem Zusammenhang
sind die sog. "Multi-patch" Methoden die am weitesten verbreitete Vorgehensweise. Hier
versucht man Fl„chenverb„nde aus einem Netz von dreidimensionalen Kurven (oft
gemischt mit unstrukturierten Punktewolken) derart zu generieren, dass die Kurven und
Punkte von den Fl„chen interpoliert werden. Die Kurven werden als R„nder von
rechteckigen oder dreieckigen bi-polynomialen oder polynomialen Fl„chen betrachtet.
Unter dieser Einschr„nkung leidet die Flexibilit„t des Verfahrens. In dieser Dissertation
schlagen wir vor, beliebige, d.h. auch nicht iso-parametrische, Kurven zu verwenden.
Dadurch ergeben sich folgende Vorteile: Erstens kann so beispielsweise eine B-spline
Fl„che entlang einer benutzerdefinierten Kurve verformt werden w„hrend andere Kurven
oder Punkte fixiert sind. Zweitens, kann eine B-spline Fl„che Kurven interpolieren, die sich
nicht auf iso-parametrische Linien der Fl„che abbilden lassen. Wir behandeln drei Arten
von Constraints: Inzidenz einer beliebigen Kurve auf einer B-spline Fl„che, Fixieren von
Fl„chennormalen entlang einer beliebigen Kurve (dieser Constraint dient zur Herstellung
von tangentialen šberg„ngen zwischen zwei Fl„chen) und die sog. Variational
Constrains. Letztere dienen unter anderem zur Optimierung der physikalischen und
optischen Eigenschaften der Fl„chen. Es handelt sich hierbei um die Gausschen
Normalgleichungen der Fl„chenfunktionale zweiter Ordnung, wie sie in der Literatur
bekannt sind.
Die Dissertation gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil befasst sich mit der Aufstellung
der linearen Gleichungssysteme, welche die oben erw„hnten Constraints repr„sentieren.
Der zweite Teil behandelt Methoden zum L”sen dieser Gleichungssysteme. Der Kern des
ersten Teiles ist die Erweiterung und Generalisierung des auf Polarformen (Blossoms)
basierenden Algorithmus f�r Verkettung von Polynomen auf Bezier und B-spline Basis:
Gegeben sei eine B-spline Fl„che und eine B-spline Kurve im Parameterraum der Fl„che.
Wir zeigen, dass die Kontrollpunkte der dreidimensionalen Fl„chenkurve, welche als
polynomiale Verkettung der beiden definiert ist, durch eine im Voraus berechenbare
lineare Tranformation (eine Matrix) der Fl„chenkontrollpunkte ausgedr�ckt werden
k”nnen. Dadurch k”nnen Inzidenzbeziehungen zwischen Kurven und Fl„chen exakt und
auf eine sehr elegante und kompakte Art definiert werden. Im Vergleich zu den bekannten
Methoden ist diese Vorgehensweise effizienter, numerisch stabiler und erh”ht nicht die
Konditionszahl der zu l”senden linearen Gleichungen. Die Effizienz wird erreicht durch
Verwendung von eigens daf�r entwickelten Datenstrukturen und sorgf„ltige Analyse von
kombinatorischen Eigenschaften von Polarformen. Die Gleichungen zur Definition von
Tangentialit„ts- und Variational Constraints werden als Anwendung und Erweiterung
dieses Algorithmus implementiert. Beschrieben werden auch symbolische und
numerische Operationen auf B-spline Polynomen (Multiplikation, Differenzierung,
Integration). Dabei wird konsistent die Matrixdarstellung von B-spline Polynomen
verwendet.
Das L”sen dieser Art von Constraintproblemen bedeutet das Finden der Kontrollpunkte
einer B-spline Fl„che derart, dass die definierten Bedingungen erf�llt werden. Dies wird
durch L”sen von, im Allgemeinen, unterbestimmten und schlecht konditionierten linearen
Gleichungssystemen bewerkstelligt. Da in solchen F„llen keine eindeutige, numerisch
stabile L”sung existiert, f�hren die �blichen Methoden zum L”sen von linearen
Gleichungssystemen nicht zum Erfolg. Wir greifen auf die Anwendung von sog.
Regularisierungsmethoden zur�ck, die auf der Singul„rwertzerlegung (SVD) der
Systemmatrix beruhen. Insbesondere wird die L-curve eingesetzt, ein "numerischer
Hochfrequenzfilter", der uns in die Lage versetzt eine stabile L”sung zu berechnen.
Allerdings reichen auch diese Methoden im Allgemeinen nicht aus, eine Fl„che zu
generieren, welche die erw�nschten „sthetischen und physikalischen Eigenschaften
besitzt. Verformt man eine Tensorproduktfl„che entlang einer nicht isoparametrischen
Kurve, entstehen unerw�nschte Oszillationen und Verformungen. Dieser Effekt wird
"Surface-Aliasing" genannt. Wir stellen zwei Methoden vor um diese Aliasing-Effekte zu
beseitigen: Die erste Methode wird vorzugsweise f�r Deformationen einer existierenden
B-spline Fl„che entlang einer nicht isoparametrischen Kurve angewendet. Es erfogt eine
Umparametrisierung der zu verformenden Fl„che derart, dass die Kurve in der neuen
Fl„che auf eine isoparametrische Linie abgebildet wird. Die Umparametrisierung einer B-
spline Fl„che ist keine abgeschlossene Operation; die resultierende Fl„che besitzt i.A.
keine B-spline Darstellung. Wir berechnen eine beliebig genaue Approximation der
resultierenden Fl„che mittels Interpolation von Kurvennetzen, die von der
umzuparametrisierenden Fl„che gewonnen werden. Die zweite Methode ist rein
algebraisch: Es werden zus„tzliche Bedingungen an die L”sung des Gleichungssystems
gestellt, die die Aliasing-Effekte unterdr�cken oder ganz beseitigen. Es wird ein
restriktionsgebundenes Minimum einer Zielfunktion gesucht, deren globales Minimum bei
"optimaler" Form der Fl„che eingenommen wird. Als Zielfunktionen werden
Gl„ttungsfunktionale zweiter Ordnung eingesetzt. Die stabile L”sung eines solchen
Optimierungsproblems kann aufgrund der nahezu linearen Abh„ngigkeit des Gleichungen
nur mit Hilfe von Regularisierungsmethoden gewonnen werden, welche die vorgegebene
Zielfunktion ber�cksichtigen. Wir wenden die sog. Modifizierte Singul„rwertzerlegung in
Verbindung mit dem L-curve Filter an. Dieser Algorithmus minimiert den Fehler f�r die
geometrischen Constraints so, dass die L”sung gleichzeitig m”glichst nah dem Optimum
der Zielfunktion ist.The constrained-based design of free-form surfaces is currently limited to tensor-product
interpolation of orthogonal curve networks or equally spaced grids of points. The, so-
called, multi-patch methods applied mainly in the context of scattered data interpolation
construct surfaces from given boundary curves and derivatives along them. The limitation
to boundary curves or iso-parametric curves considerably lowers the flexibility of this
approach. In this thesis, we propose to compute surfaces from arbitrary (that is, not only
iso-parametric) curves. This allows us to deform a B-spline surface along an arbitrary
user-defined curve, or, to interpolate a B-spline surface through a set of curves which
cannot be mapped to iso-parametric lines of the surface. We consider three kinds of
constraints: the incidence of a curve on a B-spline surface, prescribed surface normals
along an arbitrary curve incident on a surface and the, so-called, variational constraints
which enforce a physically and optically advantageous shape of the computed surfaces.
The thesis is divided into two parts: in the first part, we describe efficient methods to set
up the equations for above mentioned linear constraints between curves and surfaces. In
the second part, we discuss methods for solving such constraints. The core of the first part
is the extension and generalization of the blossom-based polynomial composition
algorithm for B-splines: let be given a B-spline surface and a B-spline curve in the domain
of that surface. We compute a matrix which represents a linear transformation of the
surface control points such that after the transformation we obtain the control points of the
curve representing the polynomial composition of the domain curve and the surface. The
result is a 3D B-spline curve always exactly incident on the surface. This, so-called,
composition matrix represents a set of linear curve-surface incidence constraints.
Compared to methods used previously our approach is more efficient, numerically more
stable and does not unnecessarily increase the condition number of the matrix. The thesis
includes a careful analysis of the complexity and combinatorial properties of the algorithm.
We also discuss topics regarding algebraic operations on B-spline polynomials
(multiplication, differentiation, integration). The matrix representation of B-spline
polynomials is used throughout the thesis. We show that the equations for tangency and
variational constraints are easily obtained re-using the methods elaborated for incidence
constraints.
The solving of generalized curve-surface constraints means to find the control points of
the unknown surface given one or several curves incident on that surface. This is
accomplished by solving of large and, generally, under-determined and badly conditioned
linear systems of equations. In such cases, no unique and numerically stable solution
exists. Hence, the usual methods such as Gaussian elimination or QR-decomposition
cannot be applied in straightforward manner. We propose to use regularization methods
based on Singular Value Decomposition (SVD). We apply the so-called L-curve, which
can be seen as an numerical high-frequency filter. The filter automatically singles out a
stable solution such that best possible satisfaction of defined constraints is achieved.
However, even the SVD along with the L-curve filter cannot be applied blindly: it turns out
that it is not sufficient to require only algebraic stability of the solution. Tensor-product
surfaces deformed along arbitrary incident curves exhibit unwanted deformations due to
the rectangular structure of the model space. We discuss a geometric and an algebraic
method to remove this, so-called, Surface aliasing effect. The first method reparametrizes
the surface such that a general curve constraint is converted to iso-parametric curve
constraint which can be easily solved by standard linear algebra methods without aliasing.
The reparametrized surface is computed by means of the approximated surface-surface
composition algorithm, which is also introduced in this thesis. While this is not possible
symbolically, an arbitrary accurate approximation of the resulting surface is obtained using
constrained curve network interpolation. The second method states additional constraints
which suppress or completely remove the aliasing. Formally we solve a constrained least
square approximation problem: we minimize an surface objective function subject to
defined curve constraints. The objective function is chosen such that it takes in the
minimal value if the surface has optimal shape; we use a linear combination of second
order surface smoothing functionals. When solving such problems we have to deal with
nearly linearly dependent equations. Problems of this type are called ill-posed. Therefore
sophisticated numerical methods have to be applied in order to obtain a set of degrees of
freedom (control points of the surface) which are sufficient to satisfy given constraints. The
remaining unused degrees of freedom are used to enforce an optically pleasing shape of
the surface. We apply the Modified Truncated SVD (MTSVD) algorithm in connection with
the L-curve filter which determines a compromise between an optically pleasant shape of
the surface and constraint satisfaction in a particularly efficient manner