Introducció pràctica a les equacions diferencials

L'objectiu d'aquest text és donar suport a l'aprenentatge dels mètodes de resolució d'alguns tipus d'equacions diferencials. Els temes centrals són les equacions diferencials lineals, la resolució de problemes de valors inicials a través de sèries de potències, la transformada de Laplace, la resolució de sistemes diferencials lineals de coeficients constants utilitzant funcions de matrius i la resolució de problemes en derivades parcials a través del mètode de separació de variables (junt amb les sèries de Fourier) i de la transformada de Fourier. El punt de vista és principalment pràctic i analític, oferint una àmplia varietat d'exemples i una col·lecció d'exercicis al final de cada tema. El nivell del curs està orientat a un curs general sobre equacions diferencials per a estudiants de segon curs d'enginyeria. Al mateix temps també constitueix un curs introductori per a poder abordar textos més avançatsBivià Ausina, C. (2022). Introducció pràctica a les equacions diferencials. Editorial Universitat Politècnica de València. http://hdl.handle.net/10251/185923EDITORIA

Resolució numèrica d’equacions en derivades parcials parabòliques

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2015, Director: Àngel Jorba i MonteA partial differential equation (PDE) is an equation that contains an unknown function with more than one variable and some of its partial derivatives. We can classify PDE’s in linears or nonlinears and by the order of its derivatives as well. Within these classifications stand out linear PDE’s of second order, because they can modelling a lot of physical phenomena. We find three groups inside this set: • Elliptical equations, which appear in heat transmission under stationary conditions problems, particle difussion or the vibration in a membrane. • Parabolic equations, which appear in the same kind of problems than before but with one exception, they change over time now. • Hyperbolic equations, which appear in problems about mass transport in fluids, wave phenomena, among others. In this work, we will study several types of boundary value problems (BVP) of a parabolic equation, the heat equation. BVP consists in finding a function $f\in C^{2}$ that satisfies the conditions of the heat equation and the conditions imposed on the unknown function (or its derivatives) in the boundary of the region we are working on. Frequently, these problems cannot be solved analytically. One of the most used methods these days is the finite element method. This method was developed from the 40’s. The aim of the finite element method is to approximate a weak solution for a BVP from a mount of referency nodes which are located on the region of the problem. To perform this whole process, we will start describing some functional analysis tools that we will need from now on in this work, straightaway we will see the numerical methods that we will use and we will conclude with an example resolution

Estudio del comportamiento del suelo en el rango de las pequeñas deformaciones y desarrollo del modelo constitutivo EPHYSS

Soil behavior in the range of small strains should be considered in the analysis of geotechnical problems when sensitive elements are affected, which is very common in urban environments. However, some of the tests that allow to determinate soil parameters in the range of small strains are still not sufficiently extended in geotechnical engineering professional practice, hindering its estimation and use in constitutive models. Nowadays, the constitutive model Hardening Soil with Small Strain Stiffness (HS-SS) of Plaxis is practically the only one with an extended use in the professional practice that considers such behavior, while the rest of this type of models are generally limited to an academic use. Despite its great advantages, some aspects of the HS-SS model that could be improved have been detected, as well as some inconsistencies whose effects can have a considerable influence on the numerical simulations of boundary problems, as these are cumulative. This thesis analyzes and classifies 48 soil constitutive models that consider soil behavior in the range of small strains, characterized by being nonlinear, hysteretic and dependent on recent history. For this, different classification criteria have been used, some of them pre-existing and others established in this work. A new elastoplastic soil constitutive model denominated Elastoplastic Hysteretic Small Strain (EPHYSS) has been developed, which is composed by the Hysteretic Quasi-Hypoelastic (HQH) model and the Hardening Soil Modified (HSmod) model. The EPHYSS model describes, on the one hand, the nonlinear reversible, hysteretic and dependent on recent history soil behavior by using the HQH model, which considers the strain-induced anisotropy, and, on the other hand, the soil plastic behavior by using the Cap-Cone HSmod model. The EPHYSS model state variables define different short and long-term memory levels that provide it with robustness for the reproduction of soil hysteretic behavior. Among them, the deviatoric strain history tensor and the maximum value of the shear stiffness corresponding to the active degradation curve allow to reproduce infinite degradation curves according to the level of strain reversal, which confers great versatility to the model and adaptability to experimental results. The EPHYSS model code, entirely provided in this thesis, has been written in FORTRAN and implemented in Plaxis through the User Defined Soil Model (UDSM) modulus. A verification of the EPHYSS model has been made, as well as a validation using different experimental tests, numerical tests and boundary value problems of works in which some type of monitoring has been performed. Among these works, there is a large urban excavation in Barcelona, for whose analysis resonant column tests and various in situ measurements have been conducted. It is concluded that the EPHYSS model significantly improves the approximation to the experimental data with respect to the HS-SS model in the simulations of the different tests and boundary value problems, especially in those that present reversals in deviatoric loadings; resolves the inconsistencies of the latter; has a reasonable computational cost; provides flexibility in the use of different plastic formulations; and requires simple parameters, most of them common to those of the HS-SS model, which distinguishes it from other complex constitutive models that are usually limited to an academic use. All this makes the EPHYSS model a model that can be used for analysis and design in geotechnical engineering practice.El comportamiento del suelo en el rango de las pequeñas deformaciones debe ser considerado en el análisis de problemas geotécnicos en los que se afecten elementos sensibles, lo cual es muy habitual en entornos urbanos. Sin embargo, varios de los ensayos que permiten determinar los parámetros del suelo en el rango de las pequeñas deformaciones siguen sin estar suficientemente extendidos en la práctica profesional de la ingeniería geotécnica, dificultando su estimación y su uso en modelos constitutivos. Hoy en día, el modelo constitutivo Hardening Soil with Small Strain Stiffness (HS-SS) de Plaxis es prácticamente el único con un uso extendido en la práctica profesional que tiene en cuenta dicho comportamiento, mientras que el resto de modelos de este tipo suelen limitarse a un uso académico. A pesar de sus grandes ventajas, se han detectado aspectos del modelo HS-SS que pueden ser mejorados, así como algunas inconsistencias cuyos efectos pueden tener una influencia significativa en las simulaciones numéricas de problemas de contorno, por ser estos acumulativos. En esta tesis se han analizado y clasificado 48 modelos constitutivos del suelo que tienen en cuenta el comportamiento del mismo en el rango de las pequeñas deformaciones, caracterizado por ser no lineal, histerético y dependiente de la historia reciente. Para ello se han utilizado diferentes criterios de clasificación, algunos de ellos existentes y otros establecidos en este trabajo. Se ha desarrollado un nuevo modelo constitutivo elastoplástico del suelo denominado Elastoplastic Hysteretic Small Strain (EPHYSS), formado por los modelos Hysteretic Quasi-Hypoelastic (HQH) y Hardening Soil Modified (HSmod). El modelo EPHYSS describe, por un lado, el comportamiento reversible no lineal, histerético y dependiente de la historia reciente del suelo a través del modelo HQH, que tiene en cuenta la anisotropía inducida en deformaciones, y, por otro lado, el comportamiento plástico del suelo a través del modelo HSmod. Las variables de estado del modelo EPHYSS definen diferentes niveles de memoria a corto y largo plazo que lo dotan de robustez para la reproducción del comportamiento histerético del suelo. Entre ellas, el tensor de historia de deformaciones desviadoras y el valor máximo de la rigidez al corte para la curva de degradación activa, permiten reproducir infinitas curvas de degradación en función del nivel de reversión de las deformaciones, lo cual confiere gran versatilidad al modelo y adaptabilidad a los resultados experimentales. El código del modelo EPHYSS, proporcionado en su totalidad en esta tesis, se ha escrito en FORTRAN e implementado en Plaxis mediante el módulo User Defined Soil Model (UDSM). Se ha realizado una verificación del modelo EPHYSS, así como una validación del mismo con diferentes ensayos experimentales, ensayos numéricos y problemas de contorno de obras en las que se ha realizado algún tipo de auscultación. Entre dichas obras se encuentra una gran excavación urbana en Barcelona para cuyo análisis se han realizado ensayos de columna resonante y diversas mediciones in situ. Se concluye que el modelo EPHYSS mejora significativamente la aproximación a las medidas experimentales respecto el modelo HS-SS en las simulaciones de los diferentes ensayos y problemas de contorno, especialmente en aquellos que presentan reversiones en las cargas desviadoras; resuelve las inconsistencias de este último; tiene un coste computacional razonable; proporciona flexibilidad en el uso de diferentes formulaciones plásticas; y requiere parámetros simples, la mayoría de ellos comunes a los del modelo HS-SS, lo cual lo distingue de otros modelos constitutivos complejos limitados habitualmente a un uso académico. Todo ello convierte al modelo EPHYSS en un modelo que puede ser utilizado para el análisis y el diseño en la práctica profesional de la ingeniería geotécnica.El comportament del sòl en el rang de les petites deformacions ha de ser considerat a l’anàlisi de problemes geotècnics en els que s’afectin elements sensibles, cosa que és molt habitual en entorns urbans. No obstant, diversos assaigs que permeten determinar els paràmetres del sòl en el rang de les petites deformacions segueixen sense estar suficientment estesos a la pràctica professional de l’enginyeria geotècnica, dificultant la seva estimació i el seu ús en models constitutius. Avui dia, el model constitutiu Hardening Soil with Small Strain Stiffness (HS-SS) de Plaxis, basat en el model Hardening Soil Small (HS-S), és pràcticament l’únic amb un ús estès a la pràctica professional que té en compte aquest comportament, mentre que la resta de models d’aquest tipus normalment es limiten, donades les seves característiques, a un ús acadèmic. Tot i els seus grans avantatges, s’han detectat aspectes del model HS-SS que poden ser millorats, així com algunes inconsistències els efectes de les quals poden tenir una influència significativa a les simulacions numèriques de problemes de contorn, per ser acumulatives. En aquesta tesi s’han analitzat i classificat 48 models constitutius del sòl que tenen en compte el seu comportament en el rang de les petites deformacions, caracteritzat per ser no lineal, histerètic i dependent de la història recent. Amb aquesta finalitat s’han utilitzat diferents criteris de classificació, alguns d’ells existents i altres establerts en el present treball. S’ha desenvolupat un nou model constitutiu elastoplàstic del sòl anomenat Elastoplastic Hysteretic Small Strain (EPHYSS), format pels models Hysteretic Quasi-Hypoelastic (HQH) i Hardening Soil Modified (HSMOD). El model EPHYSS descriu, per un costat, el comportament reversible no lineal, histerètic i dependent de la història recent del sòl mitjançant el model HQH, que té en compte l’anisotropia induïda en deformacions, i, per un altre costat, el comportament plàstic del sòl mitjançant el model HSMOD de tipus Cap-Cone. Les variables d’estat del model EPHYSS defineixen diferents nivells de memòria a curt i llarg termini que el doten de robustesa per la reproducció del comportament histerètic del sòl. Entre elles, el tensor d’història de deformacions desviadores i el valor màxim de la rigidesa al tall corresponent a la corba de degradació activa permeten reproduir infinites corbes de degradació en funció del nivell de reversió de les deformacions, fet que confereix gran versatilitat al model i adaptabilitat als resultats experimentals. El codi del model EPHYSS, que es proporciona de forma íntegra en aquesta tesi, s’ha escrit en FORTRAN i s’ha implementat en Plaxis mitjançant el mòdul User Defined Soil Model (UDSM). S’ha realitzat una verificació del model EPHYSS, així com una validació del mateix amb diferents assaigs experimentals, assaigs numèrics i problemes de contorn d’obres en les que s’ha realitzat algun tipus d’auscultació. Entre aquestes obres es troba una gran excavació urbana a Barcelona, per l’anàlisi de la qual s’han instal·lat extensòmetres, s’han realitzat mesures topogràfiques de la superfície segons l’avanç de l’excavació i s’ha complementat la campanya geotècnica del projecte amb assaigs de columna ressonant. Es conclou que el model EPHYSS millora significativament l’aproximació a les mesures experimentals respecte del model HS-SS en les simulacions dels diferents assaigs i problemes de contorn, especialment en aquells que presenten reversions a les càrregues desviadores; resol les inconsistències d’aquest últim; té un cost computacional raonable; proporciona flexibilitat en l’ús de diferents formulacions plàstiques; i requereix paràmetres simples, la majoria d’ells comuns als del model HS-SS, cosa que el distingeix d’altres models constitutius complexos limitats habitualment a un ús acadèmic. Tot això converteix el model EPHYSS en un model que pot ser utilitzat per l’anàlisi i el disseny a la pràctica professional de l’enginyeria geotècnica.Postprint (published version

Simulació per elements finits de la regeneració d’una fractura tibial

Es pretén calcular, mitjançant una simulació iterativa, l’evolució de la cura d’una fractura tibial per a 4 casos: una càrrega axial de 250 N, una altra de 500 N, una configuració fisiològica que té en compte els músculs implicats mecànicament en la tíbia i la mateixa configuració però augmentada gradualment considerant que la mobilitat del pacient està limitada en el moment de la fractura i que a poc a poc es va recuperant. La modelització es duu a terme a partir de la caracterització dels diferents materials que coexisteixen en la tíbia fracturada, subjectada per un fixador extern. S’ha tingut en compte la concentració cel·lular en el call al llarg del temps i la diferenciació dels teixits mitjançant un diagrama de mecano-regulació. Per fer la simulació s’ha emprat un software de càlculs estructurals. Per tal d’analitzar els resultats, s’observa l’evolució dels impulsos mecànics en el call: la pressió del fluid intersticial, la velocitat amb la que es desplaça aquest, la deformació de cisalla octaèdrica i, com a conseqüència dels dos anteriors, els teixits diferenciats en el call. Els resultats obtinguts mostren una cura òptima en el cas de la càrrega axial de 250 N. Per al cas simulat que més s’adequa a la realitat, la configuració fisiològica augmentada gradualment, les limitacions de la simulació no permeten modelitzar el procés en la seva totalitat i els impulsos mecànics resultants són superiors als desitjats

Modelització del comportament tèrmic dels condensadors

This project aims to the analysis and later modelling of the thermal behaviour of electronic components such as capacitances. Several simulations have been studied and some variations regarding main aspects such as geometry, physical properties, material arrangement, etc have been taken into account. Also, some theory about electric failures have been stated and the causes of these malfunctions. In the first chapter, history, types, structure, performance, etc, of capacitors have been introduced, as well as some previous studies regarding to the thermal behaviour modelling of this kind of electronic components. Some sections have been also dedicated to the theoretical background that there is behind heat transfer, differential equations (specifically the heat equation) and all knowledge needed to make the project more comprehensive. A realistic model of layered-dissipated power has been developed. It's been carried out following this layered internal structure of different materials (composing the actual capacitors' cores). Unidimensional and bidimensional simulations have been done considering a space and time discretization. Bidimensional results have shown lower temperatures than the ones found in unidimensional simulations. This is discussed in the conclusions The irreversibility of the capacitors' degradation has been concluded too, studying the entropy of the process

Disseny d’una Artificial Surf Reef (ASR) per a la costa catalana

Surfejar a Catalunya no és cap fantasia, de fet aquest esport s’ha convertit en quasi una moda a la capital Barcelonina. Els inicis del Surf a Barcelona daten dels principis dels anys 90. El precedent el van portar treballadors australians que van arribar a Barcelona per la construcció de la Ciutat Olímpica. Però el surf del Mediterrani no es pot practicar cada dia, la mitjana de surf és d’uns 130 dies a l’any, que correspon a un 35% anual, és per això que el surfista ha d’estar atent a les previsions diàriament i disposat a recórrer infinits quilòmetres a la recerca d’una onada perfecta. Complementàriament, durant els últims deu anys han nascut els Esculls de Surf Artificials (ASR per les seves sigles en anglès, Artificial Surf Reef). Són estructures submergides dissenyades per a millorar les condicions de surf d’una platja. El seu objectiu principal és modificar el pendent del sòl on trencarà l’onada per fer variar el número d’Iribarren a valors d’onades surfejables. Arran d’això, en la present tesina s’ha estudiat quin és el disseny òptim d’una ASR per a la costa catalana amb la finalitat d’incrementar els dies i zones surfejables, i millorar-ne les condicions. S’ha realitzat l’estudi amb dos perfils de platges, una de caràcter dissipatiu i una de caràcter reflectiu, per obtenir un ventall més gran sobre els resultats d’aquesta estructura. Per fer-ho, s’ha utilitzat el mètode SPH proporcionat per DualSPHysics que modificant el pendent, posició i longitud de l’estructura permet obtenir el disseny que millor s’adapta al clima. També s’ha investigat sobre la possible influència de la construcció de l’ASR amb l’augment de l’economia local, veient així que el turisme del surf no és l’únic beneficiat amb la creació d’aquest escull. Un cop dut a terme l’estudi s’ha conclòs que com a caràcter general el millor trencament es dona amb un pendent d’1/8 de l’estructura, però el pendent que ha generat un major rang d’onades surfejables ha estat el de 1/7.Surfear en Cataluña no es ninguna fantasía, de hecho, este deporte, ha pasado a ser casi una moda en la capital Barcelonesa. Los inicios del Surf en Barcelona datan de principios de los años 90, donde trabajadores australianos llegaron a Barcelona para la construcción de la Ciudad Olímpica. Pero el surf de Mediterráneo no se puede practicar cada día, la media de surf es de unos 130 días al año, que corresponde a un 35% anual, por lo que el surfista debe estar atenta a las previsiones casi a diario y dispuesto a recorrer infinitos kilómetros en busca de la ola perfecta. Complementariamente, durante los últimos diez años han nacido los Arrecifes de Surf Artificiales (ASR). Los ASR son estructuras sumergidas diseñadas para mejorar las condiciones de surf de una playa, su principal objetivo es modificar la pendiente del suelo, donde romperá la ola, para hacer variar el número de Iribarren a valores de oleadas surfeables. A raíz de esto, en la presente tesina se ha estudiado cuál es el diseño óptimo de una ASR para la costa catalana con el objetivo de incrementar los días y zonas surfeables, y mejorar sus condiciones. Se ha realizado el estudio con dos perfiles de playas, una de carácter disipativo y una de carácter reflectante, para obtener un mayor abanico sobre los resultados de esta estructura. Para ello, se ha utilizado el método (SPH) en el modelo DualSPHysics que, modificando la pendiente, posición (distancia a costa) y longitud de la estructura, permite obtener el diseño que mejor se adapta al clima. También se ha investigado sobre la posible influencia de la construcción del ASR con el aumento de la economía local, viendo así que el turismo del surf no es el único beneficiado con la creación de este arrecife. Una vez realizado el estudio se ha concluido que, la mejor rotura se da con una pendiente de la estructura de 1/8, pero la pendiente que ha generado un mayor rango de olas surfeables ha sido la de 1/7.Surfing in Catalonia is not a fantasy, in fact this sport has become almost a fashion in the capital of Barcelona. The beginnings of surfing in Barcelona date back to the early 90s, the precedent was set by Australian workers who came to Barcelona for the construction of the Olympic City. But Mediterranean surfing cannot be practiced every day, the average surfing is about 130 days a year, which corresponds to a 35% annual, so the surfer must be attentive to the forecasts almost daily and willing to travel endless kilometers in search of the perfect wave. In addition, the last ten years have seen the birth of Artificial Surf Reefs (ASR). ASRs are submerged structures designed to improve the surfing conditions of a beach, their main purpose is to modify the slope of the ground where the wave will break to vary the Iribarren number to surfable swell values. As a result, this dissertation has studied the optimal design of an ASR for the Catalan coast with the aim of increasing the number of surfable days and areas and improving surfing conditions. The study was carried out with two beach profiles, one dissipative and one reflective, to obtain a wider range of results for this structure. For this purpose, the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method on the DualSPHysics model has been used. By modifying the slope, position (distance from the coast) and length of the structure, it is possible to obtain the design that best adapts to the climate. The possible influence of the construction of the ASR on the local economy has also been investigated, showing that surf tourism is not the only one to benefit from the creation of this reef. Once the study has been carried out, it has been concluded that in general the best break occurs with a structure slope of 1/8, and a wave with a significant wave height of 1.5 m and a period of 7 s. However, the slope that generated the greatest range of surfable waves was 1/7