Polynomially Bounded Minimization Problems That Are Hard To Approximate

Min PB is the class of minimization problems whose objective functions are bounded by a polynomial in the size of the input. We show that there exist several problems that are Min PB-complete with respect to an approximation preserving reduction. These problems are very hard to approximate; in polynomial time they cannot be approximated within n " for some " ? 0, where n is the size of the input, provided that P 6= NP. In particular, the problem of finding the minimum independent dominating set in a graph, the problem of satisfying a 3-SAT formula setting the least number of variables to one, and the minimum bounded 0 \Gamma 1 programming problem are shown to be Min PB-complete. We also present a new type of approximation preserving reduction that is designed for problems whose approximability is expressed as a function of some size parameter. Using this reduction we obtain good lower bounds on the approximability of the treated problems

Vereinfachung von polygonalen Ebenenunterteilungen unter Topologieeinschränkungen

Verschiedene Geoinformationen, wie beispielsweise Straßenverläufe, Höhenlinien und Grenzverläufe, liegen häufig in großen Datenmengen vor. Zur Darstellung auf einem Bildschirm wird jedoch selten die volle Auflösung benötigt, sondern eine geringere Auflösung, die vom gewählten Zoombereich und von der Bildschirmauflösung abhängt. Daher müssen die Rohdaten vor der Übertragung und Darstellung bis zu einer gegebenen Fehlertoleranz vereinfacht werden. In dieser Arbeit wird das Problem der Vereinfachung von polygonalen Ebenenunterteilungen untersucht. Dabei soll bei der Vereinfachung eine Fehlertoleranz eingehalten und die Topologie der Eingabe erhalten werden. Weitere Einschränkungen an die Vereinfachung können als Topologieeinschränkungspunkte gegeben sein, die nach der Vereinfachung in der topologisch selben Facette liegen müssen. Es werden bekannte theoretische Ergebnisse sowie verschiedene Heuristiken zur Ebenenvereinfachung vorgestellt. Eine neue Heuristik, die mittels einer eingeschränkten Delaunay-Triangulierung das Problem auf viele kleine und lokale Teilprobleme reduziert, wurde im Rahmen dieser Arbeit implementiert. Zum Testen der Heuristik wurden sowohl verschiedene OpenStreetMap-Datensätze von Hamburg und von Baden-Württemberg verwendet als auch konstruierte Datensätze um die Laufzeit abzuschätzen. Anhand der ermittelten Laufzeiten für die Vereinfachung kann man von einer Laufzeit ausgehen, die superlinear jedoch nicht quadratisch ist

On the Complexity of Alternative Solutions

Diese Dissertation untersucht die Komplexität alternativer Lösungen. Das heißt, wir betrachten die Frage, ob eine oder mehrere gegebene Lösungen eines Problems, das Finden weiterer Lösungen vereinfacht. In der Praxis relevant ist diese Fragestellung zum Beispiel, wenn sich eine mit großem Aufwand berechnete Lösung eines schwierigen Problems im Nachhinein als unzureichend erweist. In diesem Falle ist es notwendig nach alternativen Lösungen zu suchen, wobei nun die bereits gefundene Lösung als Ausgangspunkt der Berechnung genutzt werden kann. Darüber hinaus hat die untersuchte Aufgabenstellung eine Bedeutung in der Erstellung von (auch hier immer beliebteren) japanischen Rätseln wie Sudoku, Kakkuro oder Nurikabe. Beispielsweise werden im Fall von Sudoku, ausgehend von einem vollständig ausgefüllten Gitter (Startlösung), Ziffern so gestrichen dass die Startlösung die eindeutige Lösung des Rätsels bleibt. Dazu muss während des Streichprozesses wiederholt geprüft werden, ob es neben der Startlösung alternative Lösungen gibt. Im ersten Teil der Arbeit (Kapitel 3 und 4) betrachten wir die Klasse der NP-vollständigen Probleme. Wir formalisieren den Begriff der Lösung mittels sogenannter Verifier und das Problem alternativer Lösungen für NP-Sprachen. Indem wir die Härte des Problems alternativer Lösungen für einige Probleme zeigen, motivieren wir die Vermutung, dass eine gegebene Lösung das Finden alternativer Lösungen nicht vereinfacht. Wir entwickeln den Begriff des universellen Verifiers, der es ermöglicht, einen geeigneten Lösungsbegriff für ein Problem formal zu charakterisieren. Darüber hinaus zeigen wir, dass es möglich ist, mit einer einzigen sogenannten -Reduzierung einen Lösungsbegriff für ein Problem als geeignet zu identifizieren sowie die Härte des Problems alternativer Lösungen für jede Anzahl gegebener Lösungen zu zeigen. Unter Benutzung dieser Reduzierung, erhärten wir die obige Vermutung, indem wir für eine große Zahl NP-vollständiger Probleme wie zum Beispiel 0/1-Integer Programming, 3Dimensional Matching, Minimum Edge Cost Flow und Vertex Cover zeigen, dass bezüglich eines geeigneten Lösungsbegriffes alternative Lösungen nicht leicht zu berechnen sind. Darüber hinaus übertragen wir die Theorie für NP-Probleme auch auf die Klasse RE der aufzählbaren Sprachen (Kapitel 5) und die Klassen der Polynomialzeithierarchie (Kapitel 6). Für RE zeigen wir damit, dass das Problem alternativer Lösungen für RE wenig sinnvoll ist, da wir für jedes RE-Problem einen geeigneten Lösungsbegriff finden, der höchstens eine Lösung zulässt. Die Situation in der Polynomialzeithierarchie ist vermutlich ähnlich zum NP-Fall. Für können wir die Härte des Problems alternativer Lösungen für einige typische Probleme zeigen, z.B. für Generalized Subset Sum und Strongest Implicant Core. Deshalb und wegen der starken strukturellen Ähnlichkeit zu NP (Die Polynomialzeithierarchie ist eine Verallgemeinerung von NP, insbesondere gilt = NP) vermuten wir auch hier, dass alternative Lösungen im Allgemeinen genauso schwer zu finden sind, wie eine erste Lösung