Information Spreading in Stationary Markovian Evolving Graphs

Markovian evolving graphs are dynamic-graph models where the links among a fixed set of nodes change during time according to an arbitrary Markovian rule. They are extremely general and they can well describe important dynamic-network scenarios. We study the speed of information spreading in the "stationary phase" by analyzing the completion time of the "flooding mechanism". We prove a general theorem that establishes an upper bound on flooding time in any stationary Markovian evolving graph in terms of its node-expansion properties. We apply our theorem in two natural and relevant cases of such dynamic graphs. "Geometric Markovian evolving graphs" where the Markovian behaviour is yielded by "n" mobile radio stations, with fixed transmission radius, that perform independent random walks over a square region of the plane. "Edge-Markovian evolving graphs" where the probability of existence of any edge at time "t" depends on the existence (or not) of the same edge at time "t-1". In both cases, the obtained upper bounds hold "with high probability" and they are nearly tight. In fact, they turn out to be tight for a large range of the values of the input parameters. As for geometric Markovian evolving graphs, our result represents the first analytical upper bound for flooding time on a class of concrete mobile networks.Comment: 16 page

Inondation dans les réseaux dynamiques

International audienceCette note résume nos travaux sur l'inondation dans les réseaux dynamiques. Ces derniers sont définis à partir d'un processus Markovien de paramètres $p$ et $q$ générant des séquences de graphes $(G_0,G_1,G_2,\ldots)$ sur un même ensemble $[n]$ de sommets, et tels que $G_t$ est obtenu à partir de $G_{t-1}$ comme suit~: si $e\notin E(G_{t-1})$ alors $e\in E(G_{t})$ avec probabilité $p$, et si $e\in E(G_{t-1})$ alors $e\notin E(G_{t})$ avec probabilité $q$. Clementi et al. (PODC 2008) ont analysé différent processus de diffusion de l'information dans de tels réseaux, et ont en particulier établi un ensemble de bornes sur les performances de l'inondation. L'inondation consiste en un protocole élémentaire où chaque n{\oe}ud apprenant une information à un temps $t$ la retransmet à tous ses voisins à toutes les étapes suivantes. Evidemment, en dépit de ses avantages en terme de simplicité et de robustesse, le protocole d'inondation souffre d'une utilisation abusive des ressources en bande passante. Dans cette note, nous montrons que l'inondation dans les réseaux dynamiques peut être mis en {\oe}uvre de façon à limiter le nombre de retransmissions d'une même information, tout en préservant les performances en termes du temps mis par une information pour atteindre tous les n{\oe}uds du réseau. La principale difficulté de notre étude réside dans les dépendances temporelles entre les connexions du réseaux à différentes étapes de temps

Shortest, Fastest, and Foremost Broadcast in Dynamic Networks

Highly dynamic networks rarely offer end-to-end connectivity at a given time. Yet, connectivity in these networks can be established over time and space, based on temporal analogues of multi-hop paths (also called {\em journeys}). Attempting to optimize the selection of the journeys in these networks naturally leads to the study of three cases: shortest (minimum hop), fastest (minimum duration), and foremost (earliest arrival) journeys. Efficient centralized algorithms exists to compute all cases, when the full knowledge of the network evolution is given. In this paper, we study the {\em distributed} counterparts of these problems, i.e. shortest, fastest, and foremost broadcast with termination detection (TDB), with minimal knowledge on the topology. We show that the feasibility of each of these problems requires distinct features on the evolution, through identifying three classes of dynamic graphs wherein the problems become gradually feasible: graphs in which the re-appearance of edges is {\em recurrent} (class R), {\em bounded-recurrent} (B), or {\em periodic} (P), together with specific knowledge that are respectively $n$ (the number of nodes), $\Delta$ (a bound on the recurrence time), and $p$ (the period). In these classes it is not required that all pairs of nodes get in contact -- only that the overall {\em footprint} of the graph is connected over time. Our results, together with the strict inclusion between $P$, $B$, and $R$, implies a feasibility order among the three variants of the problem, i.e. TDB[foremost] requires weaker assumptions on the topology dynamics than TDB[shortest], which itself requires less than TDB[fastest]. Reversely, these differences in feasibility imply that the computational powers of $R_n$, $B_\Delta$, and $P_p$ also form a strict hierarchy

Diffusion probabiliste dans les réseaux dynamiques

National audienceLa diffusion probabiliste est une des techniques les plus populaires pour diffuser de l'information dans les réseaux à grande échelle. Cette technique est appréciée pour sa simplicité, sa robustesse et son efficacité. Dans le cas du protocole \push, chaque nœud informé choisit à chaque étape un de ses voisins aléatoirement de manière uniforme, et lui transmet l'information. Ce protocole est connu pour permettre la diffusion en $O(\log n)$ étapes, avec forte probabilité, dans plusieurs familles de réseaux \emph{statiques} de $n$ nœuds. De plus, il a été montré empiriquement que le protocole \push\/ offre de très bonnes performances en pratique. En particulier, il se montre robuste aux évolutions dynamiques de la structure réseau. Dans cet article, nous analysons le protocole \push\/ dans le cas de réseaux \emph{dynamiques}. Nous considérons le modèle des graphes à évolution arête-markovienne, qui permet de capturer une forme de dépendance temporelle entre la structure du réseau au temps $t$ et celle au temps $t+1$. Plus précisément, une arête inexistante apparaît avec probabilité $p$, tandis qu'une arête existante disparaît avec probabilité $q$. Ayant pour objectif de coller avec des traces réelles, nous concentrons principalement notre étude sur le cas $p=\Omega(\frac{1}{n})$ et $q$ constant. Nous prouvons que, dans ce cas réaliste, le protocole \push\/ permet de diffuser l'information en $O(\log n)$ étapes, avec forte probabilité. Cette borne reste valide même lorsque, avec forte probabilité, le réseau est déconnecté à chaque étape (typiquement, lorsque $p\ll \frac{\log n}{n}$). Ce résultat démontre ainsi formellement la robustesse du protocole \push\/ dans le cadre d'évolution temporelle de la structure du réseau. La version complète de cet article, en cours de soumission, est disponible sur arXiv (voir~\cite{CCDFPS13} qui contient un sur-ensemble des résultats présentés ici)

Distributed Community Detection in Dynamic Graphs

Inspired by the increasing interest in self-organizing social opportunistic networks, we investigate the problem of distributed detection of unknown communities in dynamic random graphs. As a formal framework, we consider the dynamic version of the well-studied \emph{Planted Bisection Model} \sdG(n,p,q) where the node set $[n]$ of the network is partitioned into two unknown communities and, at every time step, each possible edge $(u,v)$ is active with probability $p$ if both nodes belong to the same community, while it is active with probability $q$ (with $q<<p$) otherwise. We also consider a time-Markovian generalization of this model. We propose a distributed protocol based on the popular \emph{Label Propagation Algorithm} and prove that, when the ratio $p/q$ is larger than $n^{b}$ (for an arbitrarily small constant $b>0$), the protocol finds the right "planted" partition in $O(\log n)$ time even when the snapshots of the dynamic graph are sparse and disconnected (i.e. in the case $p=\Theta(1/n)$).Comment: Version I