Weakly Delayed Linear Planar Systems of Discrete Equations

Dizertační práce se zabývá slabě zpožděnými lineárními rovinnými systémemy s konstantními koeficienty. Charakteristická rovnice těchto systémů je identická s charakteristickou rovnicí systému, který neobsahuje zpožděné členy. V takovém případě se počáteční dimenze prostoru řešení mění po několika krocích na menší. V jistém smyslu je tato situace analogická podobnému jevu v teorii lineárních diferenciálních systémů s konstantními koeficienty a speciálním zpožděním, kdy původně nekonečně rozměrný prostor řešení (na počátečním intervalu) přejde po několika krocích do konečného prostoru řešení. V práci je pro každý možný případ kombinace kořenů charakteristické rovnice konstruováno obecné řešení daného systému a jsou formulovány výsledky o dimenzi prostoru řešení. Také je zkoumána stabilita řešení.The present thesis deals with planar weakly delayed linear discrete systems. The characteristic equations of weakly delayed systems are identical with those of the same systems but without delayed terms. In this case, after several steps, the space of solutions with a given starting dimension is pasted into a space with a dimension less than the starting one. In a sense, this situation is analogous to one known in the theory of linear differential systems with constant coefficients and special delays when the initially infinite dimensional space of solutions on the initial interval turns (after several steps) into a finite dimensional set of solutions. For every possible case, explicit general solutions are constructed and, finally, results on the dimensionality of the space of solutions are obtained. The stability of solutions is investigated as well.

Asymptotic solutions of forced nonlinear second order differential equations and their extensions

Using a modified version of Schauder's fixed point theorem, measures of non-compactness and classical techniques, we provide new general results on the asymptotic behavior and the non-oscillation of second order scalar nonlinear differential equations on a half-axis. In addition, we extend the methods and present new similar results for integral equations and Volterra-Stieltjes integral equations, a framework whose benefits include the unification of second order difference and differential equations. In so doing, we enlarge the class of nonlinearities and in some cases remove the distinction between superlinear, sublinear, and linear differential equations that is normally found in the literature. An update of papers, past and present, in the theory of Volterra-Stieltjes integral equations is also presented