Um comparativo dos fatores de convergência assintótica dos suavizadores do tipo linha no método multigrid

Orientador: Prof. Dr. Marcio Augusto Villela PintoCoorientadora: Profª Drª Simone de Fátima Tomazzoni GonçalvesDissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia. Defesa : Curitiba, 19/02/2018Inclui referências: p.73-78Resumo: Estudos de problemas que envolvem anisotropia física são aplicados nas Ciências e nas Engenharias, como por exemplo, quando a condutividade térmica depende da dire- ção. Estes problemas podem ser representados por modelos matemáticos e resolvidos numéricamente pelos métodos iterativos. Neste trabalho, o método multigrid foi utilizado para acelerar a convergência destes métodos. O fator de convergência assintótica do multigrid foi determinado pela Análise de Fourier Local (Local Fourier Analysis, LFA) e empiricamente (com o auxílio do computador). O modelo matemático estudado foi a equação de difusão 2D anisotrópica, com ? coeficiente de anisotropia. A discretização da equação foi obtida através do Método de Diferenças Finitas (MDF) e o esquema central de segunda ordem (Central Differencing Scheme, CDS). O Esquema de Correção (Correction Scheme, CS), os métodos Gauss-Seidel ponto-a-ponto (ordenação lexicográfica e Red-Black), os métodos Gauss-Seidel linha-a-linha (Gauss-Seidel linha nas direções x e y, zebra nas direções x e y) foram usados na construção do multigrid. O melhor fator de convergência assintótica foi obtido mediante os métodos Gauss-Seidel zebra na direção x para 0 < ? 1 e Gauss-Seidel zebra na direção y para ? 1. Assim, foi proposto um método xy-zebra-GS, que se mostrou eficiente e robusto para os diferentes coeficientes de anisotropia. Também foi possível confirmar que os fatores de convergência calculados via LFA e empiricamente, estão em concordância. Palavras-chaves: Anisotropia física. Problema difusivo. Método de Diferenças Finitas. Multigrid. Análise de Fourier Local. Gauss-Seidel zebra.Abstract: Studies of problems involving physical anisotropy are applied in Science and Engineering, for example, when the thermal conductivity depends on the direction. These problems can be represented by mathematical models and solved numerically by iterative methods. In this work, the multigrid method was used to accelerate the convergence of these methods. The asymptotic convergence factor of the multigrid was determined by Local Fourier Analysis (LFA) and empirically (by computer). The mathematical model studied was the anisotropic 2D diffusion equation, with ? anisotropy coefficient. For discretization of the equation was performed by the Finite Differences Method and Central Differencing Scheme (CDS). Correction Scheme (CS), pointwise Gauss-Seidel methods (lexicographic and Red-Black ordering), linewise Gauss-Seidel methods (x- and y-line Gauss-Seidel, x- and y-zebra) was used in the multigrid. The better convergence factor was zebra Gauss-Seidel method in direction x for 0 < ? 1 e and y-zebra-GS for ? 1. Therefore, xy-zebra-GS method, developed in this study, showed efficient and robust for the different anisotropy coefficients. The convergence factors analyzed by LFA and empirically, are in agreement. Key-words: Physical anisotropy. Diffusion problem. Finite Difference Method. Multigrid. Local Fourier Analysis. Zebra Gauss-Seidel

Estudo de parâmetros do método Multigrid geométrico para equações 2D em CFD e volumes finitos

Orientador : Prof. Dr. Carlos Henrique MarchiCoorientadores : Prof. Dr. Marcio Augusto Villela Pinto, Prof. Dr. Luciano Kiyoshi ArakiTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Defesa: Curitiba, 26/02/2013Inclui referênciasÁrea de concentração: Fenômenos de transporte e mecânica dos sólidosResumo: A influencia de alguns parametros do metodo multigrid geometrico sobre o tempo de CPU para tres diferentes modelos matematicos bidimensionais do escopo da CFD (Computational Fluid Dynamics) e investigada. Os modelos matematicos sao: a equacao de Laplace, a equacao de Adveccao-Difusao e as Equacoes de Burgers. Os parametros em estudo sao: numero de iteracoes internas do solver (ƒË); numero de malhas (L); numero de incognitas (N); solvers e operadores de prolongacao. O multigrid e empregado com esquema FAS (Full Approximation Scheme) e tecnica FMG (Full Multigrid) com ciclo V e razao de engrossamento r = 2. As equacoes diferenciais sao discretizadas pelo Metodo dos Volumes Finitos (MVF) em geometrias simples e malhas bidimensionais uniformes por direcao, com aproximacoes de 2a ordem CDS e correcao adiada. As condicoes de contorno, do tipo Dirichlet, sao aplicadas mediante a tecnica de volumes ficticios. Os sistemas de equacoes algebricas sao resolvidos com o emprego do solver Gauss-Seidel Lexicografico (GS-Lex) e, no caso do problema de Burgers, tambem com o emprego do Gauss-Seidel red-black (GS-RB). Verificou-se principalmente que: o esquema FAS-FMG e cerca de duas vezes mais rapido do que o FAS padrao; que o numero de equacoes ou complexidade do problema nao interfere na eficiencia do multigrid; que o operador de prolongacao bilinear e o mais eficiente para interpolar as solucoes entre os niveis do FMG. Palavras-chave: Dinamica dos fluidos computacional. Multigrid. Volumes finitos. Metodos numericos. Equacoes de Burgers.This work investigates the influence of some parameters from the Multigrid Geometric method over CPU processing time for three different mathematical bidimensional methods that make up the Computational Fluid Dynamics scope. These mathematical models are: Laplace equation, Advection-Diffusion equation and Burgers' equations. In order to achieve the main target, which consists on optimize the employed algorithms to solve the problems above, the computational time minimization is sought through parameters modifications at the algorithms. The considered parameters are: number of solver's internal iteration (v); number of grids (L); number of incognites (N); solvers and prolongation operators. The multigrid is employed besides FAS (Full Approximation Scheme) and FMG (Full Multigrid) technique, with V cycle and coarsening ratio r = 2. The differential equations discretization is made by the Finite Volume Method (MVF) over simple geometries and direction uniform bidimensional grids, with second order CDS and delayed correction. The Dirichlet type boundary conditions are applied through fictitious volume technique. The system of algebraic equations are solved by the Gauss-Seidel Lexicographic (GS-Lex) solver and, at the Burgers problem, the Gauss-Seidel red-black (GS-RB) is also employed. The main results that should be emphasized are: the FAS-FMG scheme is about twice faster than the standard FAS; the multigrid efficiency ate not affected by the number of equations or complexity of the problem; the bilinear prolongation operator is the most efficient to interpolate the solution among the FMG levels. Keywords: computational fluid dynamics. Multigrid. Finite volume method. Numerical methods. Burgers' Equation

Estudo de parâmetros do método multigrid geométrico para equações 2D em CFD usando malhas curvilíneas estruturadas não ortogonais

Orientador: Prof. Dr. Luciano Kiyoshi ArakiCoorientador: Prof. Dr. Marcio Augusto Villela PintoTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia. Defesa : Curitiba, 13/11/2019Inclui referências: p. 120-126Área de concentração: Mecânica ComputacionalResumo: Muitos problemas de Engenharia estao relacionados a geometrias em que o uso de um sistema de coordenadas cartesianas, cilindicas ou esfericas nao se mostra pratico ou adequado, sendo preferivel, por exemplo, empregar malhas curvilineas estruturadas. A influencia de alguns parametros do metodo multigrid geometrico sobre o tempo da Unidade Central de Processamento (CPU) na resolucao de problemas de Dinamica dos Fluidos Computacional usando malhas curvilineas estruturadas nao ortogonais foi investigada. Os parametros investigados sao o numero de iteracoes internas do solver (?), o numero das malhas (L), o numero de incognitas (N) e os metodos Gauss-Seidel com ordenacao lexicografica (GS-Lex), Gauss-Seidel linha em ? (?-linha-GS), Modified Strongly Implicit (MSI) e decomposicao LU incompleta modificada (MILU). Para a geracao de malhas curvilineas estruturadas nao ortogonais foram empregados metodos que utilizam interpolacao de Lagrange e sistema de equacoes diferenciais elipticas. As equacoes diferenciais foram discretizadas usando Metodo dos Volumes Finitos com esquema de aproximacao central de segunda ordem e correcao adiada. As condicoes de contorno, do tipo Dirichlet, foram aplicadas mediante a tecnica de volumes ficticios. Para a resolucao do sistema de equacoes algebricas resultante da discretizacao, foi utilizado o metodo multigrid geometrico com esquema de aproximacao completa, ciclo V e razao de engrossamento padrao. Os estudos do efeito dos parametros ?, L e N e dos solvers GS-Lex, ?-linha-GS, MSI e MILU no tempo da CPU se deram para problemas com tamanhos ate 4096 × 4096. Verificou-se principalmente que: entre os suavizadores empregados, os solvers MSI e MILU produzem algoritmos mais eficientes para os problemas estudados; o numero de iteracoes internas que obteve o melhor desempenho medio para o problema de Poisson para malhas geradas usando interpolacao de Lagrange e equacoes elipticas, e diferente, porem e o mesmo para o problema de Burgers para ambos os geradores de malhas e o solver MSI; o numero de niveis de malha que obteve o melhor desempenho medio para o problema de Poisson para malhas geradas usando interpolacao de Lagrange e equacoes elipticas, tambem e diferente, porem, e igual ao numero maximo menos um para o problema de Burgers para ambos os geradores de malhas e o solver MSI; o solver MSI e mais rapido que o MILU para ambos os geradores de malha; e as solucoes sao mais acuradas para o problema de Burgers com malhas geradas usando equacoes elipticas. Palavras-chave: Dinamica dos Fluidos Computacional. Metodo dos Volumes Finitos. Malhas curvilineas nao ortogonais. Multigrid geometrico. Equacao de Poisson. Equacoes de Burgers.Abstract: Many Engineering problems are related to geometries in which the use of a cartesian, cylindrical or spherical coordinate system is not practical or suitable, and it is preferable, for example, to employ structured curvilinear grids. The influence of some parameters of the geometric multigrid method on the time of the Central Processing Unit (CPU) in the solving Computational Fluid Dynamics problems with the use of non-orthogonal structured curvilinear grids was investigated. The parameters number of inner iterations of the solver (?), number of grids (L) and number of unknowns (N), as well as the solvers, lexicographical Gauss-Seidel (Lex-GS), ?-line Gauss-Seidel (?-line-GS), Modified Strongly Implicit (MSI) and modified incomplete LU decomposition (MILU) were assessed. Methods which employs Lagrange interpolation and elliptic equations system were used to generate the non-orthogonal structured curvilinear grids. The differential equations were discretized by Finite Volume Method with second-order approximation Central Differencing Scheme and deferred correction. Dirichlet boundary conditions were employed according to the ghost cell approach. Geometric multigrid method with Full Approximation Scheme, V-cycle and standard coarsening ratio was used to solve the system of algebraic equations that resulted from the discretization of equations. Problems up to size 4096 × 4096 volumes were employed in the study of the influence of the aforementioned parameters ?, L e N as well as the Lex-GS, ?-line-GS, MSI and MILU solvers on the CPU time. The main results that should be emphasized are: from the solvers employed, MSI and MILU are the most efficient for the problems assessed; the number of inner iterations of the solver that obtained the best average performance for the Poisson problem for grids generated using Lagrange interpolation and elliptic equations, is different, however it has same for the Burgers problem for both grids generators and the MSI solver; the number of grids levels that obtained the best average performance for the Poisson problem for grids generated using Lagrange interpolation and elliptic equations is also different, though it is equal to the maximum number minus one for the Burgers problem for both grids generators and the MSI solver; MSI solver is faster than MILU for both grids generators; and the solutions are more accurate for the Burgers problem with grids generated using elliptic equations. Keywords: Computational Fluid Dynamics. Finite volume method. Non-orthogonal curvilinear grids. Geometric multigrid. Poisson equation. Burgers equations

Estudo de parâmetros do método Multigrid para sistemas de equações 2D em CFD

Resumo: A influência de alguns parâmetros do método multigrid geométrico sobre o tempo de CPU para diferentes modelos matemáticos é investigada. Os parâmetros investigados são: número de iterações internas do solver (); número de níveis de malha (L); tamanho do problema (N); esquemas CS e FAS para dois modelos; e o efeito causado pelo número de equações diferenciais em dois modelos matemáticos. Os parâmetros são estudados para a equação de Laplace, equações de Navier (Termoelasticidade linear), equações de Burgers e de Navier-Stokes para escoamento incompressível; nas equações de Navier-Stokes discute-se também o efeito do número de Reynolds. Para o método multigrid, são feitas simulações com iterações internas = 1, 2, 3, · · · , 10 e = 15, e, no caso das quações de Navier-Stokes, o necessário para confirmar a tendência. O número de níveis de malhas varia de L = 2 a L = Lmáximo com N = 5×5, 9×9, 17×17, · · · , 1025×1025. O desempenho do método multigrid nas equações de Navier-Stokes é comparado nas formulações função de corrente e velocidade ( - v) e função de corrente e vorticidade ( - !). As equações são usadas na forma bidimensional e em regime estacionário. Os algoritmos multigrid CS (Correction Scheme) e FAS (Full Approximation Scheme) são implementados para a equação de Laplace e equações de Navier. Para as equações de Burgers e de Navier-Stokes implementa-se o algoritmo FAS. As equações diferenciais parciais são discretizadas com o Método de Diferenças Finitas em malhas uniformes nas duas direções. Os sistemas de equações algébricas são resolvidos com o solver MSI (Modified Strongly Implicit), e no caso das equações de Navier-Stokes com o SOR (Successive Over-Relaxation), ambos associados ao método multigrid geométrico com ciclo V e razão de engrossamento dois. As informações foram transferidas entre as malhas com injeção na restrição e interpolação bilinear na prolongação. Apenas na formulação função de corrente e velocidade utilizouse a ponderação completa na restrição. Verificou-se principalmente que: o esquema FAS apresentou melhor desempenho que o CS nos problemas lineares; a redução do fator de aceleração do método multigrid não é causado pelo acoplamento das equações; a formulação - v apresentou maiores fatores de aceleração que a formulação - !, mas o tempo de execução do singlegrid com -! é menor que -v; as soluções da formulação - v são mais acuradas que as soluções da formulação - !, inclusive em malhas grossas. Os resultados foram comparados com método singlegrid e resultados disponíveis na literatura

Efeito de malhas anisotrópicas bidimensionais sobre o desempenho do método Multigrid Geométrico

Resumo: O objetivo deste trabalho e reduzir o tempo de CPU (Central Processing Unit) necessario para resolver problemas difusivos bidimensionais, discretizados com malhas anisotropicas. Os modelos matematicos considerados referem-se a tres problemas bidimensionais lineares de conducao de calor, governados pelas equacoes de Laplace e Poisson, com condicoes de contorno de Dirichlet. O metodo de diferencas finitas e usado para discretizar as equacoes diferenciais com esquema de diferenca central (CDS) de segunda ordem. Os sistemas de equacoes algebricas sao resolvidos usando-se os metodos Gauss-Seidel lexicografico e redblack, associados ao metodo multigrid geometrico com esquema de correcao (CS) e ciclo V. Foram resolvidos problemas com anisotropia geometrica, diversas malhas e razoes de aspecto. O numero de iteracoes internas (ƒË) foi verificado em um intervalo de 1 a 3.000. A analise do numero de niveis foi realizada utilizando-se o numero maximo de niveis ( ) maximo L e .1 maximo L , . 2, . 3 maximo maximo L L , .4 maximo L . Sao feitas comparacoes entre diversos algoritmos de engrossamento: engrossamento padrao (EP), semi-engrossamento (SE), semiengrossamento completo (SEC), emi-engrossamento seguido de engrossamento padrao (SEEP) e engrossamento padrao seguido de semi-engrossamento (EP-SE). Tambem sao realizadas comparacoes entre alguns operadores de restricao: injecao, meia ponderacao e ponderacao completa. Sao propostos tres tipos de restricao para problemas anisotropicos: meia ponderacao geometrica, ponderacao geometrica completa e ponderacao parcial. O processo de prolongacao utilizado e a interpolacao bilinear. Tambem foi investigado o efeito sobre o tempo de CPU causado por: numero de pontos na malha (N); numero de iteracoes internas no solver (v); e numero de malhas (L). Verificou-se que: o algoritmo SE-EP e o mais rapido entre os cinco algoritmos testados; e confirmou-se que, para problemas isotropicos e anisotropicos, o solver Gauss-Seidel red-black com restricao por ponderacao parcial resulta em menor tempo de CPU em relacao ao Gauss-Seidel lexicografico

Proposta de um procedimento híbrido para estimar e reduzir o erro de iteração em problemas de transferência de calor

Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique MarchiCoorientador: Prof. Dr. Diego Fernando MoroTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Defesa : Curitiba, 29/07/2020Inclui referências: p.193-195Resumo: Este trabalho tem como objetivo principal aperfeicoar as tecnicas de estimativas de erros de iteracao em problemas de transferencia de calor. Primeiro, propoe-se um novo estimador para erros de iteracao e, a partir das estimativas obtidas, propoe-se um metodo para melhorar as previsoes de erros de iteracao em faixas de iteracoes em que o estimador nao apresenta resultados acurados. O estimador proposto fornece previsoes dos erros de iteracao baseadas na taxa de convergencia da variavel de interesse. Seu desempenho foi testado em duas equacoes unidimensionais: equacao de Poisson e equacao de adveccao-difusao, e uma bidimensional: equacao de Laplace. As equacoes foram discretizadas por meio do Metodo das Diferencas Finitas (MDF) e resolvidas em malhas uniformes. Os sistemas de equacoes resultantes das discretizacoes foram resolvidos pelos solvers TriDiagonal Matrix Algorithm (TDMA), PentaDiagonal Matrix Algorithm (PDMA) e Gauss-Seidel (GS). O solver TDMA foi utilizado para obtencao da solucao direta das equacoes unidimensionais, o solver PDMA para obtencao da solucao de referencia da equacao bidimensional e o solver GS para estimar os erros a cada iteracao. A equacao de Laplace foi resolvida com/sem o metodo multigrid associado ao GS para aceleracao da convergencia. As variaveis escolhidas para analise dos resultados foram: o valor da funcao no ponto central do dominio (local), derivadas nos contornos (local) e valor medio da funcao (global). Os codigos foram implementados na linguagem Fortran 95, com precisao quadrupla, no ambiente Microsoft Visual Studio 2013. O estimador proposto foi avaliado com relacao a sua acuracia e confiabilidade e comparado aos principais estimadores de erros de iteracao presentes na literatura e observou-se que, para todos os problemas e variaveis analisadas, os estimadores possuem resultados semelhantes. As faixas iniciais e as faixas finais de iteracoes foram as que apresentaram as estimativas menos acuradas. Assim, a fim de melhorar as estimativas da faixa inicial, primeiramente, foram delimitadas, para cada variavel, as faixas de iteracoes em que o estimador apresenta as melhores estimativas de erros. Para isso, os criterios utilizados foram: convergencia da serie geometrica que representa o estimador proposto, convergencia monotonica da taxa de convergencia e a interferencia dos erros de arredondamento. Apos identificado o intervalo com as melhores estimativas, essas mesmas estimativas foram utilizadas para se obter solucoes com erros reduzidos de iteracao, chamadas de solucoes corrigidas. A ultima solucao corrigida do melhor intervalo de estimativas foi utilizada para recalcular as previsoes. Por meio desse metodo foi possivel melhorar as estimativas da faixa inicial de iteracoes. Combinando-se as previsoes de erro obtidas com o estimador e as previsoes melhoradas por meio do metodo proposto, obtem-se um procedimento hibrido para estimativa do erro de iteracao em todo o ciclo iterativo. Palavras-chave: Erro de iteracao. Metodo de diferencas finitas. Transferencia de calor computacional. Verificacao.Abstract: This study aims to improve the techniques for estimates of iteration errors in heat transfer problems. First, a new estimator of iteration error is proposed and, based on the estimates obtained, a method is proposed to improve the iteration error predictions in ranges of iterations where the estimator does not present accurate results. The proposed estimator is an empirical estimator that provides iteration errors estimates based on interest variables convergence rate. Its performance was tested in two one-dimensional equations: Poisson's equation and advection-diffusion equation, and in a two-dimensional equation: Laplace's equation. All equations were discretized using the Finite Difference Method (FDM) in uniform meshes. The systems of equations resulting from the discretizations were solved by the TriDiagonal Matrix Algorithm solver (TDMA), PentaDiagonal Matrix Algorithm solver (PDMA) and Gauss-Seidel solver (GS). The TDMA solver was used to obtain the one-dimensional equations direct solution, the PDMA solver to obtain the bidimensional equation reference solution and the GS solver to estimate errors at each iteration. The Laplace equation was solved with and without the multigrid method associated with GS to accelerate convergence. The variables chosen to evaluate the results were: the function value at the central point of the domain (local), the derivative at the right boundary (local) and the function mean value (global). The codes were implemented in Fortran 95 language, with quadruple precision, in the Microsoft Visual Studio Community 2013. The proposed estimator was evaluated with respect to its accuracy and reliability and was compared to the main iteration error estimators found in the literature and it was observed that, for all problems and variables, the estimators have similar results. The iterations initial ranges and the final ranges were those that presented the least accurate estimates. Thus, in order to improve the estimates obtained, first it was delimited, for each variable, the iterations ranges in which the estimator presents the best error estimates. To that end, the criteria were: geometric series convergence that represents the proposed estimator, monotonic convergence and the interference of round-off errors. After identifying the interval with the best estimates, these same estimates were used to obtain solutions with reduced iteration errors. The best estimate range last solution with reduced iteration errors was used to recalculate the predictions. Through this procedure it was possible to improve the iteration initial range estimates. Combining the error estimates with the estimator and those improved by the proposed method, a hybrid procedure is obtained to estimate the iteration error throughout the iterative cycle. Keywords: Iteration error. Finite difference method. Computational heat transfer. Verification