Optimal controllers with complex order derivatives

This paper studies the optimization of complex-order algorithms for the discrete-time control of linear and nonlinear systems. The fundamentals of fractional systems and genetic algorithms are introduced. Based on these concepts, complexorder control schemes and their implementation are evaluated in the perspective of evolutionary optimization. The results demonstrate not only that complex-order derivatives constitute a valuable alternative for deriving control algorithms, but also the feasibility of the adopted optimization strategy

Stability and Dynamics of Complex Order Fractional Difference Equations

We extend the definition of $n$-dimensional difference equations to complex order $\alpha\in \mathbb{C}$. We investigate the stability of linear systems defined by an $n$-dimensional matrix $A$ and derive conditions for the stability of equilibrium points for linear systems. For the one-dimensional case where $A =\lambda \in \mathbb {C}$, we find that the stability region, if any is enclosed by a boundary curve and we obtain a parametric equation for the same. Furthermore, we find that there is no stable region if this parametric curve is self-intersecting. Even for $\lambda \in \mathbb{R}$, the solutions can be complex and dynamics in one-dimension is richer than the case for $\alpha\in \mathbb{R}$. These results can be extended to $n$-dimensions. For nonlinear systems, we observe that the stability of the linearized system determines the stability of the equilibrium point.Comment: 21 pages, 17 figure

Derivación de Orden Fraccional Mediante Redes de Período Largo en Fibra Óptica

La presente tesis tiene como tema principal el diseño y fabricación de redes de difracción en fibra óptica para aplicaciones en procesamiento de señales ultrarrápidas. Específicamente, se logra demostrar experimentalmente cómo bajo ciertas condiciones, dispositivos fotónicos construidos en fibra óptica pueden utilizarse como operadores matemáticos de cálculo fraccional. A continuación se ennumeran los objetivos y la distribución de la tesis. Los principales objetivos de la tesis son los siguientes: 1) Estudiar la teoría de cálculo fraccional, para poder diseñar y demostrar experimentalmente dispositivos fotónicos basados en redes de difracción que produzcan la derivada fraccional de pulsos láser de picosegundos. 2) Estudiar la teoría de redes de difracción en fibra óptica, con especial énfasis en las redes de período largo uniformes (LPGs) y los factores que determinan su ancho de banda. 3) Medir la sensibilidad de las redes de período largo ante variaciones en tensión mecánica axial, temperatura e índice de refracción. 4) Demostrar experimentalmente una aplicación de los derivadores de orden fraccional en reconstrucción de fase de pulsos ópticos. Para lograr estos objetivos, la tesis ha sido estructurada en 5 capítulos. El capítulo 1 se dedica a describir cualitativamente las redes de difracción en fibra óptica y sus usos en. Posteriormente se introduce el tema del cálculo fraccional, y algunas razones del por qué se ha dado un interés de implementar operadores de derivadas e integrales fraccionales en el dominio fotónico. En el capítulo 2 se describe la teoría del cálculo fraccional, y la representación matemática de un pulso óptico y de su derivada fraccional teórica. Posteriormente, se analiza la teoría de las redes de período corto (FBGs) y de período largo (LPGs), y se explica por qué éstas últimas pueden funcionar como derivadores fraccionales bajo ciertas circunstancias. El capítulo 3 está dedicado al diseño y fabricación de redes de difracción, enfocando el trabajo especialmente a la obtención de redes de período largo con ancho de banda reducido, al acoplar la energía del modo fundamental a modos de orden alto de la fibra y utilizando bajos coeficientes de acoplo para aumentar la longitud total de las LPGs. Posteriormente, estas redes espectralmente estrechas son sometidas a pruebas de sensibilidad ante tensión axial, temperatura e índice de refracción. El capítulo 4 está dedicado a los experimentos de derivación fraccional. Se inicia con la medición de la función de transferencia de una LPG para caracterizarla como derivador fraccional. Posteriormente, se obtiene experimentalmente la derivada de orden ½ de un pulso óptico mediante dos configuraciones: LPG uniforme e interferómetro Mach-Zehnder con dos LPGs en serie. Finalmente se muestra una aplicación de éstos dispositivos al recuperar la fase de un pulso óptico de picosegundos mediante un método basado en derivadas de orden ½, y es validado por un segundo método de reconstrucción de fase por propagación en un medio dispersivo. El capítulo 5 recoge las conclusiones obtenidas en éste trabajo. Además, se discuten algunas de las líneas abiertas que deja la presente tesis, como lo son los integradores de orden fraccional todo ópticos y aplicaciones de las LPGs de ancho de banda estrecho en telecomunicaciones