Collapsing Superstring Conjecture

In the Shortest Common Superstring (SCS) problem, one is given a collection of strings, and needs to find a shortest string containing each of them as a substring. SCS admits 2 11/23-approximation in polynomial time (Mucha, SODA\u2713). While this algorithm and its analysis are technically involved, the 30 years old Greedy Conjecture claims that the trivial and efficient Greedy Algorithm gives a 2-approximation for SCS. We develop a graph-theoretic framework for studying approximation algorithms for SCS. The framework is reminiscent of the classical 2-approximation for Traveling Salesman: take two copies of an optimal solution, apply a trivial edge-collapsing procedure, and get an approximate solution. In this framework, we observe two surprising properties of SCS solutions, and we conjecture that they hold for all input instances. The first conjecture, that we call Collapsing Superstring conjecture, claims that there is an elementary way to transform any solution repeated twice into the same graph G. This conjecture would give an elementary 2-approximate algorithm for SCS. The second conjecture claims that not only the resulting graph G is the same for all solutions, but that G can be computed by an elementary greedy procedure called Greedy Hierarchical Algorithm. While the second conjecture clearly implies the first one, perhaps surprisingly we prove their equivalence. We support these equivalent conjectures by giving a proof for the special case where all input strings have length at most 3 (which until recently had been the only case where the Greedy Conjecture was proven). We also tested our conjectures on millions of instances of SCS. We prove that the standard Greedy Conjecture implies Greedy Hierarchical Conjecture, while the latter is sufficient for an efficient greedy 2-approximate approximation of SCS. Except for its (conjectured) good approximation ratio, the Greedy Hierarchical Algorithm provably finds a 3.5-approximation, and finds exact solutions for the special cases where we know polynomial time (not greedy) exact algorithms: (1) when the input strings form a spectrum of a string (2) when all input strings have length at most 2

Practical lower and upper bounds for the Shortest Linear Superstring

Peer reviewe

Analysis of heuristics

Heuristiken treten insbesondere im Zusammenhang mit Optimierungsproblemen in Erscheinung, bei solchen Problemen also, bei denen nicht nur eine Lösung zu finden ist, sondern unter mehreren möglichen Lösungen eine in einem objektiven Sinne beste Lösung ausfindig gemacht werden soll. Beim Problem kürzester Superstrings werden Heuristiken herangezogen, da mit exakten Algorithmen in Anbetracht der APX-Vollständigkeit des Problems nicht zu rechnen ist. Gegeben ist eine Menge S von Strings. Gesucht ist ein String s, so dass jeder String aus S Teilstring von s ist. Die Länge von s ist dabei zu minimieren. Die prominenteste Heuristik für das Problem kürzester Superstrings ist die Greedy-Heuristik, deren Approximationsfaktor derzeit jedoch nur unzureichend beschränkt werden kann. Es wird vermutet (die sogenannte Greedy-Conjecture), dass der Approximationsfaktor genau 2 beträgt, bewiesen werden kann aber nur, dass er nicht unter 2 und nicht über 3,5 liegt. Die Greedy-Conjecture ist das zentrale Thema des zweiten Kapitels. Die erzielten Ergebnisse sind im Wesentlichen: * Durch die Betrachtung von Greedyordnungen können bedingte lineare Ungleichungen nutzbar gemacht werden. Dieser Ansatz ermöglicht den Einsatz linearer Programmierung zum Auffinden interessanter Instanzen und eine Vertiefung des Verständnisses solcher schwerer Instanzen. Dieser Ansatz wird eingeführt und eine Interpretation des dualen Problems wird dargestellt. * Für die nichttriviale, große Teilklasse der bilinearen Greedyordnungen wird gezeigt, dass die Länge des von der Greedy-Heuristik gefundenen Superstrings und die des optimalen Superstrings sich höchstens um die Größe einer optimalen Kreisüberdeckung der Strings unterscheiden. Da eine optimale Kreisüberdeckung einer Menge von Strings stets höchstens so groß ist wie ein optimaler Superstring (man schließe einen Superstring zu einem einzelnen Kreis), ist das erzielte Ergebnis für die betrachtete Teilklasse der Greedyordnungen stärker als die klassische Greedy-Conjecture. * Es wird eine neue bedingte lineare Ungleichung auf Strings -- die Tripelungleichung -- gezeigt, die für das eben genannte Hauptergebnis wesentlich ist. * Schließlich wird gezeigt, dass die zum Nachweis der oberen Schranke von 3,5 für den Approximationsfaktor herangezogenen bedingten Ungleichungen (etwa die Monge-Ungleichung) inhärent zu schwach sind, um die Greedy-Conjecture selbst für lineare Greedyordnungen zu beweisen. Also ist die neue Tripelungleichung auch notwendig. Zuletzt wird gezeigt, dass das um die Tripelungleichung erweiterte System bedingter linearer Ungleichungen inhärent zu schwach ist, um die klassische Greedy-Conjecture für beliebige Greedyordnungen zu beweisen. Mit der Analyse von Queueing Strategien im Adversarial Queueing Modell wird auch ein Fall betrachtet, in dem Heuristiken auf Grund von anwendungsspezifischen Forderungen wie Online-Setup und Lokalität eingesetzt werden. Pakete sollen in einem Netzwerk verschickt werden, wobei jeder Rechner nur begrenzte Information über den Zustand des Netzwerks hat. Es werden Klassen von Queueing Strategien untersucht und insbesondere untersucht, wovon Queueing Strategien ihre lokalen Entscheidungen abhängig machen sollten, um ein gewisses Qualitätsmerkmal zu erreichen. Die hier erzielten Ergebnisse sind: * Jede Queueing Strategie, die ohne Zeitstempel arbeitet, kann zu einer exponentiell großen Queue und damit zu exponentiell großer Verzögerung (im Durchmesser und der Knotenzahl des Netzwerks) gezwungen werden. Dies war bisher nur für konkrete prominente Strategien bekannt. * Es wird eine neue Technik zur Feststellung der Stabilität von Queueing Strategien ohne Zeitnahme vorgestellt, die Aufschichtungskreise. Mit ihrer Hilfe können bekannte Stabilitätsbeweise prominenter Strategien vereinheitlicht werden und weitere Stabilitätsergebnisse erzielt werden. * Für die große Teilklasse distanzbasierter Queueing Strategien gelingt eine vollständige Klassifizierung aller 1-stabilen und universell stabilen Strategien

On the Greedy Superstring Conjecture

We investigate the greedy algorithm for the shortest common superstring problem. We show that the length of the greedy superstring is upper-bounded by the sum of the lengths of an optimal superstring and an optimal cycle cover, provided the greedy algorithm happens to merge the strings in a particular way. Thus, when restricting inputs correspondingly, we verify the well known greedy conjecture, namely that the approximation ratio of the greedy algorithm is within a factor of two of the optimum, and actually extend the conjecture considerably

On the greedy superstring conjecture

Abstract. We investigate the greedy algorithm for the shortest common superstring problem. We show that the length of the greedy superstring is upper-bounded by the sum of the lengths of an optimal superstring and an optimal cycle cover, provided the greedy algorithm happens to merge the strings in a particular way. Thus, when restricting inputs correspondingly, we verify the well known greedy conjecture, namely that the approximation ratio of the greedy algorithm is within a factor of two of the optimum, and actually extend the conjecture considerably. We achieve this bound by systematically combining known conditional inequalities about overlaps, period- and string-lengths with a new familiy of string inequalities. We show that conventional systems of conditional inequalities, including the Monge inequalities, are insufficient to obtain our result. AMS subject classification: 68W05, 68W25, 68W40 1 Introduction We investigate the problem of finding a shortest common superstring: Given a set S = {s1,..., sn} of strings, determine a string ofminimum length which contains eac