Optimal Reconstruction of Inviscid Vortices

We address the question of constructing simple inviscid vortex models which optimally approximate realistic flows as solutions of an inverse problem. Assuming the model to be incompressible, inviscid and stationary in the frame of reference moving with the vortex, the "structure" of the vortex is uniquely characterized by the functional relation between the streamfunction and vorticity. It is demonstrated how the inverse problem of reconstructing this functional relation from data can be framed as an optimization problem which can be efficiently solved using variational techniques. In contrast to earlier studies, the vorticity function defining the streamfunction-vorticity relation is reconstructed in the continuous setting subject to a minimum number of assumptions. To focus attention, we consider flows in 3D axisymmetric geometry with vortex rings. To validate our approach, a test case involving Hill's vortex is presented in which a very good reconstruction is obtained. In the second example we construct an optimal inviscid vortex model for a realistic flow in which a more accurate vorticity function is obtained than produced through an empirical fit. When compared to available theoretical vortex-ring models, our approach has the advantage of offering a good representation of both the vortex structure and its integral characteristics.Comment: 33 pages, 10 figure

Suitable weak solutions to the 3D Navier-Stokes equations are constructed with the Voigt Approximation

In this paper we consider the Navier-Stokes equations supplemented with either the Dirichlet or vorticity-based Navier boundary conditions. We prove that weak solutions obtained as limits of solutions to the Navier-Stokes-Voigt model satisfy the local energy inequality. Moreover, in the periodic setting we prove that if the parameters are chosen in an appropriate way, then we can construct suitable weak solutions trough a Fourier-Galerkin finite-dimensional approximation in the space variables

An elementary approach to the 3D Navier-Stokes equations with Navier boundary conditions: Existence and uniqueness of various classes of solutions in the flat boundary case

We study with elementary tools the stationary 3D Navier-Stokes equations in a flat domain, equipped with Navier (slip without friction) boundary conditions. We prove existence and uniqueness of weak, strong, and very weak solutions in appropriate Banach spaces and most of the result hold true without restrictions on the size of the data. Results are partially known, but our approach allows us to give rather elementary and self-contained proofs

Maximal Lp−LqL^p-L^q regularity to the Stokes Problem with Navier boundary conditions

We prove in this paper some results on the complex and fractional powers of the Stokes operator with slip frictionless boundary conditions involving the stress tensor. This is fundamental and plays an important role in the associated parabolic problem and will be used to prove maximal $L^{p}-L^{q}$ regularity results for the non-homogeneous Stokes problem

Recent developments in mathematical aspects of relativistic fluids

We review some recent developments in mathematical aspects of relativistic fluids. The goal is to provide a quick entry point to some research topics of current interest that is accessible to graduate students and researchers from adjacent fields, as well as to researches working on broader aspects of relativistic fluid dynamics interested in its mathematical formalism. Instead of complete proofs, which can be found in the published literature, here we focus on the proofs' main ideas and key concepts. After an introduction to the relativistic Euler equations, we cover the following topics: a new wave-transport formulation of the relativistic Euler equations tailored to applications; the problem of shock formation for relativistic Euler; rough (i.e., low-regularity) solutions to the relativistic Euler equations; the relativistic Euler equations with a physical vacuum boundary; relativistic fluids with viscosity. We finish with a discussion of open problems and future directions of research.Comment: Minor typos correcte

Localized flow, particle tracing, and topological separation analysis for flow visualization

Since the very beginning of the development of computers they have been used to accelerate the knowledge gain in science and research. Today they are a core part of most research facilities. Especially in natural and technical sciences they are used to simulate processes that would be hard to observe in real world experiments. Together with measurements from such experiments, simulations produce huge amounts of data that have to be analyzed by researchers to gain new insights and develop their field of science

Physics-Based Fluid Flow Restoration Method

Experimentelle Methoden und bildgebende Messverfahren zur Geschwindigkeitsmessung wie zum Beispiel Particle Image Velocimetry (PIV, etwa: Geschwindigkeitsmessung basierend auf Partikelbilder) und Particle Tracking Velocimetry (PTV, etwa: Geschwindig- keitsmessung basierend auf Partikelverfolgung) spielen in der Erforschung von Strömungen in Fluiden eine große Rolle. Sie sind sowohl für die Forschung als auch für eine große Reihe industrieller Anwendungen gleichbedeutend wichtig. Dennoch wird oft die geschätzte Geschwindigkeit von Fluiden durch Störungen, diversen Verfälschungen und fehlenden Fragmente beeinflusst, welches eine physikalische Interpretation der Werte sehr schwierig macht. In der vorliegenden Arbeit wird ein neuer Algorithmus zur Rekonstruktion von Geschwindigkeitsfeldern in Fluiden vorgestellt. Der Algorithmus akzeptiert als Eingabe eine große Reihe an beschädigten zwei- oder dreidimensionalen Vektorfelder und erlaubt fehlende Fragmente wiederherzustellen und das Rauschen auf einem physikalisch plausiblen Weg zu entfernen. Das Verfahren nutzt im wesentlichen die physikalischen Eigenschaften von nicht komprimierbaren Fluiden aus und hängt nicht von einem bestimmten Rausch-Modell ab. Es besteht aus vier relativ einfachen Vorschriften. Davon basieren drei auf den Grundprinzipien der Kontinuummechanik wie die Kontinuitätsgleichung, die Momentenausgleichgleichung, sowie Ergebnisse der Turbulenztheorie, grundsätzlich das Übergewicht an Niederfrequenzen in spektralen Bänder von Fluiden. Ein Ergebnis dieser physikalisch ausgerichteten Lösung ist, dass der entwickelte Algorithmus für verschiedene praxisrelevante Fehler und Störungen robust und effizient funktioniert. Ein weiterer Aspekt der entwickelten Methode ist, dass experimentelle Daten in vielen Fällen Vektoren enthalten, welche in einem dreidimensionalen Volumen zufällig aber dünnbesetzt verteilt sind. Diese tauchen aufgrund technischer Anforderungen und Restriktionen der angewendeten Messmethoden zur Geschwindigkeitsschätzung von Partikelfelder auf. Das hier vorgestellte Verfahren wurde dementsprechend um einen hochauflösenden Ansatz erweitert um mit solchen Daten zurecht zu kommen. Die Methode akzeptiert beliebig beschädigte dünnbesetzte Vektorfelder als Eingangsdatensatz und rekonstruiert die fehlenden Teile des Flusses auf einer physikalisch konsistenten Art. Der Hochauflösungs- ansatz führt zu einer Wiederherstellung des Datensatzes in Form eines hochaufgelösten Vektorfeldes. Alle bedeutenden Aussagen werden anhand numerischer Experimente mit turbulenten Flussgeschwindigkeitsfelder bestätigt. Das hier entwickelte Verfahren basiert auf einem Variationsansatz. Es wird in der Ausarbeitung gezeigt, das man in der vorgeschlagene Methode zur diskreten Darstellung anhand verschiedener numerischen Techniken übergehen kann, z.B. anhand der Finite-Differenzen-Methode oder der Finite-Elemente-Methode. Die vom Rekonstruktionsalgorithmus gelieferten Ergebnisse rechtfertigen die Annahme dass das vorgeschlagene Verfahren zum Entrauschen und Hochauflösen von Vektorfelder mit jeder Art von Störungen zurecht kommt