The Drazin inverse of the linear combinations of two idempotents in the Banach algebra

AbstractIn this paper, some Drazin inverse representations of the linear combinations of two idempotents in a Banach algebra are obtained. Moreover, we present counter-examples to and establish the corrected versions of two theorems by Cvetković-Ilić and Deng

Involutiveness of linear combinations of a quadratic or tripotent matrix and an arbitrary matrix

[EN] In this article, we characterize the involutiveness of the linear combination of the form a1A1 + a2A2 when a1, a2 are nonzero complex numbers, A1 is a quadratic or tripotent matrix, and A2 is arbitrary, under certain properties imposed on A1 and A2.The authors gratefully thank two anonymous referees for their constructive comments and suggestions. These comments considerably improved the contents and presentation of this paper. The first and third author were supported by the National Natural Science Foundation of China (11361009) and the Ministry of Education Science and Technology Key Project (210164). The second author was supported by PAID-06-12Liu, X.; Benítez López, J.; Zhang, M. (2016). Involutiveness of linear combinations of a quadratic or tripotent matrix and an arbitrary matrix. Bulletin of the Iranian Mathematical Society. 42(3):595-610. http://hdl.handle.net/10251/150652S59561042

{K,s+1}- potent matrislerin bazı lineer kombinasyonları

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Bu çalışmanın ilk bölümünde, konu ile ilgili literatür bilgisini içeren bir giriş verilmektedir. Çalışma, bu bölüm ile birlikte toplam dört ana bölümden oluşmaktadır. Bölüm 2'de, Bölüm 4 için temel teşkil edecek olan bazı kavram ve bazı teoremler verilmektedir. Bölüm 3'te ise bu çalışmaya esin kaynağı olan literatürde mevcut bir çalışmadaki bazı sonuçlar hatırlatılmaktadır. Bölüm 4, bu çalışmanın esas kısmını içermektedir. Bu bölümde, üç karşılıklı değişmeli {K,s+1}–potent matrisin lineer kombinasyonu {K,s+1}–potent olduğunda lineer kombinasyondaki skalerlerin neler olabileceği ile alakalı bir sonuç verilmektedir. Ayrıca, verilen K involutif matrisi için bu lineer kombinasyonu {K,s+1}–potent yapacak şekilde skalerler ve karşılıklı değişmeli {K,s+1}–potent matrisler bulan algoritmalar verilmektedir.In the first chapter it is given an introduction, which include literature information about the subject. The study consists of four main chapters with this chapter in totally. In the Chapter 2, some of the concepts and some theorems, that constitute the basis for Chapter 4, have been given. In Chapter 3, some results from the existing study in the literature have been reminded. These are the inspiration for this work. The Chapter 4 contains the original part of this work. In this Chapter, it has been established the result associated that what could be scalars in the linear combination when the linear combination of three mutually commuting matrices is {K,s+1}–potent. Moreover, several algorithms have been given for finding some scalars and some mutually commuting {K,s+1}–potent matrices such that the linear combination is {K,s+1}–potent

Kuadratik matrislerin doğrusal bileşimlerinin kuadratikliğinin karakterize edilmesi

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Bölüm I'de çalışmanın içeriği hakkında kısaca bazı bilgiler verilmiştir. Ayrıca, bazı özel tipli matrislerin doğrusal bileşimleri ile ilgili literatürde bulunan bazı çalışmalar tanıtılmıştır. Bölüm II, sonraki bölümlere bir hazırlık olarak yazılmıştır. Bu bölümde, daha sonra kullanılacak olan ispatsız olarak bazı teoremler ve temel kavramlar verilmiştir. Çalışmanın III. Bölüm'ünde r_1 ve r_2 sıfırdan farklı karmaşık sayılar, Q_1 ve Q_2 nxn boyutlu karmaşık kuadratik matrisler olmak üzere, r_1Q_1+r_2Q_2 doğrusal bileşiminin kuadratik matris olduğu bütün durumlar karakterize edilmiştir. Bu bölümde elde edilen sonuçlar, doğrusal bileşimin kuadratik matris olması için gerekli katsayı eşitlikleri ile birlikte matris eşitliklerinden oluşmaktadır. Çalışmanın IV. Bölüm'ünde, III. Bölüm'deki esas sonucun r_1Q_1+r_2Q_2 doğrusal bileşimindeki Q_1 ve Q_2 matrislerinin değişmeli olduğu durumu için alternatif bir ispat verilmiştir. Bu bölümdeki sonuçlar, doğrusal bileşimi oluşturan matrislerin köşegen biçimleri kullanılarak ifade edilmiştir. III. ve IV. Bölüm sonlarında, bu bölümlerde elde edilen sonuçları destekleyici sayısal örnekler verilmiştir. Ayrıca, bu sonuçların sağlaması Mathematica yazılımı kullanılarak gerçekleştirilmiştir. İlgili program kodları ve çıktıları da Ek A ve Ek B'de verilmiştir. V. Bölüm'de, çalışmada elde edilen sonuçların kısaca tanıtımı yapılmış ve öneriler verilmiştir.In Chapter I, some brief information about the content of the work is given. In addition, some studies about the linear combinations of some special types of matrices in the literature are introduced. Chapter II is written as a preparation for the next chapters. In this chapter, some theorems without proofs and fundamental concepts, which will be used later, are given. In Chapter III, all the situations, where the linear combination of the form r_1Q_1+r_2Q_2 is a quadratic matrix when r_1 and r_2 are nonzero complex numbers and, Q_1 and Q_2 are nxn complex matrices, are characterized. The results obtained in this chapter consist of matrix equalities together with coefficient equalities which enable the linear combination to be a quadratic matrix. In Chapter IV, an alternate proof of the main result of Chapter III in the particular case that Q_1 and Q_2 in the linear combination r_1Q_1+r_2Q_2 are commuting matrices, is given. The results in this chapter are given in terms of diagonal forms of matrices which form the linear combination. At the end of Chapters III and IV, numerical examples are given to exemplify the results which are obtained in these chapters. Verification of these results was performed by using Mathematica software. The codes and outputs of associated programs are given in Appendix A and Appendix B. In Chapter V, the obtained results in this study are briefly introduced and some suggestions are given

Bazı özel tipli matrislerin lineer kombinasyonları üzerine

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Çalışmanın ilk iki bölümünde bazı gösterimler, kısa bir literatür bilgisi ve bazı ön bilgiler verilmektedir. Çalışmanın sonraki bölümlerinde c_{1}, c_{2} sıfırdan farklı kompleks sayılar ve M_{1}, M_{2} nxn boyutlu sıfırdan farklı kompleks matrisler olmak üzere, c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2} biçimindeki lineer kombinasyon matrisleri ele alınmaktadır.Literatürde, M_{i}, i=1,2, matrisleri idempotent, değişmeli tripotent ve değişmeli hipergenelleştirilmiş projektör olduğunda lineer kombinasyon matrisinin, sırasıyla, tripotent veya idempotent, tripotent ve hipergenelleştirilmiş projektör olduğu tüm durumlar karakterize edilmiştir. Bu sonuçlar çalışmanın ilerleyen bölümlerinde yeri geldikçe verilmektedir. Bunların yanı sıra, lineer kombinasyonda içerilen matrislerin birbirinden farklı tipli olması durumunda da benzer bazı çalışmalar vardır.Çalışmada, önce, M_{i}, i=1,2, matrisleri idempotent olduklarında, lineer kombinasyon matrisinin involutif olduğu tüm durumlar karakterize edilmektedir. Sonra, lineer kombinasyondaki matrisler değişmeli tripotent olduklarında, ilk olarak c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2} matrisinin tripotentliğine ilişkin mevcut teoremin yeni bir ispatı ve ikinci olarak lineer kombinasyon matrisinin idempotent veya involutif olduğu tüm durumların karakterizasyonları verilmektedir. Ayrıca, bazı özel koşullar altında, M_{i}, i=1,2, matrisleri kuadripotent olduklarında c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2} matrisinin kuadripotent, tripotent ve idempotent olduğu tüm durumlar karakterize edilmektedir. Son olarak, lineer kombinasyonda içerilen matrisler değişmeli involutif ve involutif olduklarında lineer kombinasyon matrisinin, sırasıyla, tripotent ve idempotent veya involutif olduğu durumlar ortaya konulmaktadır.It has been given some notations, a short literature information, and some preliminaries in the first two chapters of the work. The linear combination matrices of the form c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2} have been considered in the sequel chapters of the work, where c_{1}, c_{2} are nonzero complex numbers and M_{1}, M_{2} are nxn nonzero complex matrices.In the literature, all situations where the linear combination matrix is tripotent or idempotent, tripotent, and hypergeneralized projector were characterized when the matrices M_{i}, i=1,2, are idempotent, commuting tripotent, and commuting hypergeneralized projectors, respectively. In the sequel chapters of this work, these results have been given in due course. Besides, there are also some similar studies when the types of matrices involved in the linear combination are different from each other.In the work, first, all situations where the linear combination matrix is involutive have been characterized when M_{i}, i=1,2, are idempotent matrices. Then, when the matrices involved in the linear combination are commuting tripotent, firstly a new proof of the available theorem related to the tripotency of the matrix c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2}, and secondly the characterizations of all situations where the linear combination matrix is idempotent or involutive have been given. Furthermore, under some particular conditions, all situations where the matrix c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2} is quadripotent, tripotent, and idempotent have been characterized when M_{i}, i=1,2, are quadripotent matrices. Finally, when the matrices included in the linear combination are commuting involutive and involutive, all situations where the linear combination matrix is tripotent and idempotent or involutive have been established, respectively

İki genelleştirilmiş kuadratik matristen türetilen bazı matrislerin spektrumları

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.İlk bölümde, çalışmanın konusu ve kapsamı hakkında kısaca bazı bilgiler verilmekte ve spektrum kavramının önemine vurgu yapılmaktadır. Ayrıca çalışmada ele alınan matris sınıfları ile ilgili literatürde mevcut olan bazı çalışmalardan bahsedilmektedir. Çalışma boyunca kullanılacak olan bazı temel kavramlar ve özellikler ikinci bölümde verilmektedir. Çalışmanın üçüncü bölümünde, A ve B matrisleri sırasıyla {α, β} ve {γ, δ}-kuadratik matrisler olmak üzere, α≠β, γ≠δ, AB≠BA ve A+B matrisinin köşegenleştirilebilir olması varsayımı altında, A+B matrisinin spektrumu ile A ve B matrislerinden türetilen bazı matrislerin spektrumları arasında bazı ilişkiler ortaya konulmaktadır. Sonraki bölümde, önceki bölümde kuadratik matrisler için ele alınan problemler, bazı özel koşullar altında bir genelleştirilmiş kuadratik matris çiftine genişletilmektedir. Üçüncü ve dördüncü bölümlerde spektrumlarla ilgili olarak ortaya konulan sonuçların, özel tipli matrislerin lineer bileşimlerinin karakterizasyonlarına dair bazı uygulamaları ve elde edilen sonuçları açıklayıcı nitelikteki bazı örnekler beşinci bölümde verilmektedir. Son bölüm, çalışma ile ilgili bazı tartışma ve önerilerden oluşmaktadır.In the first chapter, it is given some brief information about the subject and scope of the study and it is emphasized the importance of the concept of the spectrum. Also, it is mentioned from some studies existing in the literature related to matrix classes discussed in the study. Some fundamental concepts and properties which will be used throughout the study are given in the second chapter. In the third chapter of the study, some relations between the spectrum of the matrix A+B and the spectra of some matrices derived from the matrices A and B are established under the assumptions that α≠β, γ≠δ, AB≠BA, and A+B is diagonalizable, where A and B are an {α, β} and {γ, δ}-quadratic matrix, respectively. In the next chapter, it is extended the problems discussed for quadratic matrices in the preceding chapter to a pair of generalized quadratic matrices under some particular conditions. Some applications on the characterizations of the linear combinations of special types of matrices of the results established which are related to the spectra in third and fourth chapters and some examples illustrating the results obtained are given in the fifth chapter. The last chapter consists of some discussions and suggestions related to the study

Tripotent ve grup tersinir matrislerin bazı bileşimlerinin tersinirliği

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Anahtar kelimeler: Tersinirlik; İdempotent matris; Tripotent matris; Grup tersinir matris; Köşegenleştirme.Bu çalışma üç ana bölümden oluşmaktadır. Bölüm 1' de bu çalışmada bahsedilen kavramların kullanım alanları hakkında bilgi verilmektedir.Bölüm 2' de, diğer bölümler için temel teşkil edecek olan, bazı kavram, özellik ve teoremler verilmektedir.Bölüm 3' te, Bölüm 4' te kullanılacak olan grup tersinir matrisler ve tripotent matrisler hakkında temel bilgi ve teoremler verilmektedir.Bölüm 4' te, kompleks sayılar ve boyutlu tripotent matrisler olmak üzere bileşiminin tersinirliği için gerekli ve yeterli koşullar ortaya koyulmuştur. Ayrıca böyle bileşimlerin tersleri için bazı sonuçlar elde edilmektedir. Bu sonuçlardan bazıları grup tersinir matrisler için verilmektedir.Keywords: Nonsingularity; Idempotent matrix; Tripotent matrix; Group invertible matrix; Diagonalization.This study consists of three main parts. In the Chapter 1, about the application areas of the concepts discussed in this study, information are given.In the Chapter 2, being base for the other chapters, some concepts, properties, and theorems are given.In the Chapter 3, some basic informations and theorems are given about group invertible matrices and tripotent matrices, which are necessary for the Chapter 4.In the Chapter 4, it is established necessary and sufficient conditions for the nonsingularity of combinations where are tripotent matrices and are complex numbers. Moreover, it is obtained some results for the inverse of such combinations. Some of these results are given in terms of group invertible matrices

Tripotent matrislerin bazı kombinasyonlarının grup tersi

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Çalışma, toplam dört ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, ele alınan konu ile ilgili literatür bilgisini içeren bir giriş verilmektedir. Bölüm 2'de, Bölüm 4'te elde edilen sonuçlara temel teşkil edecek olan bazı kavram ve teoremler verilmektedir. Bölüm 3'te ise bu çalışmaya esin kaynağı olan çalışmada mevcut bazı sonuçlar hatırlatılmaktadır. Bölüm 4, bu çalışmanın asıl kısmını oluşturmaktadır. Bölüm 4'te, karşılıklı değişmeli iki ve üç tripotent matrisin bazı kombinasyonlarının, bazı özel koşullar altında, grup terslerinin ifadeleri ortaya koyulmaktadır.This study organized into four main chapters in totally. In the first chapter, it is given an introduction, which includes some literature information about the subject considered. In the Chapter 2, some concepts and theorems, which constitute the basis for the results given in the Chapter 4, are given. In the Chapter 3, some existing results from the study, the inspiration for this work, are reminded. The Chapter 4 constitutes the original part of this work. In the Chapter 4, the group inverses of some combinations of two and three tripotent matrices that mutually commute are established under the some special conditions