On general frameworks and threshold functions for multiple domination

© 2015 Elsevier B.V. All rights reserved. We consider two general frameworks for multiple domination, which are called (r,s)-domination and parametric domination. They generalise and unify {k}-domination, k-domination, total k-domination and k-tuple domination. In this paper, known upper bounds for the classical domination are generalised for the (r,s)-domination and parametric domination numbers. These generalisations are based on the probabilistic method and they imply new upper bounds for the {k}-domination and total k-domination numbers. Also, we study threshold functions, which impose additional restrictions on the minimum vertex degree, and present new upper bounds for the aforementioned numbers. Those bounds extend similar known results for k-tuple domination and total k-domination

Complexity and algorithms related to two classes of graph problems

This thesis addresses the problems associated with conversions on graphs and editing by removing a matching. We study the f-reversible processes, which are those associated with a threshold value for each vertex, and whose dynamics depends on the number of neighbors with different state for each vertex. We set a tight upper bound for the period and transient lengths, characterize all trees that reach the maximum transient length for 2-reversible processes, and we show that determining the size of a minimum conversion set is NP-hard. We show that the AND-OR model defines a convexity on graphs. We show results of NP-completeness and efficient algorithms for certain convexity parameters for this new one, as well as approximate algorithms. We introduce the concept of generalized threshold processes, where the results are NP-completeness and efficient algorithms for both non relaxed and relaxed versions. We study the problem of deciding whether a given graph admits a removal of a matching in order to destroy all cycles. We show that this problem is NP-hard even for subcubic graphs, but admits efficient solution for several graph classes. We study the problem of deciding whether a given graph admits a removal of a matching in order to destroy all odd cycles. We show that this problem is NP-hard even for planar graphs with bounded degree, but admits efficient solution for some graph classes. We also show parameterized results.Esta tese aborda problemas associados a conversões em grafos e de edição pela remoção de um emparelhamento. Estudamos processos f-reversíveis, que são aqueles associados a um valor de limiar para cada vértice e cuja dinâmica depende da quantidade de vizinhos com estado contrário para cada vértice. Estabelecemos um limite superior justo para o tamanho do período e transiente, caracterizamos todas as árvores que alcançam o transiente máximo em processos 2-reversíveis e mostramos que determinar o tamanho de um conjunto conversor mínimo é NP-difícil. Mostramos que o modelo AND-OR define uma convexidade sobre grafos. Mostramos resultados de NP-completude e algoritmos eficientes para certos parâmetros de convexidade para esta nova, assim como algoritmos aproximativos. Introduzimos o conceito de processos de limiar generalizados, onde mostramos resultados de NP-completude e algoritmos eficientes para ambas as versões não relaxada e relaxada. Estudamos o problema de decidir se um dado grafo admite uma remoção de um emparelhamento de modo a remover todos os ciclos. Mostramos que este problema é NP-difícil mesmo para grafos subcúbicos, mas admite solução eficiente para várias classes de grafos. Estudamos o problema de decidir se um dado grafo admite uma remoção de um emparelhamento de modo a remover todos os ciclos ímpares. Mostramos que este problema é NP-difícil mesmo para grafos planares com grau limitado, mas admite solução eficiente para algumas classes de grafos. Mostramos também resultados parametrizados