Rejoinder to "Multivariate quantiles and multiple-output regression quantiles: From L1L_1 optimization to halfspace depth"

Rejoinder to "Multivariate quantiles and multiple-output regression quantiles: From $L_1$ optimization to halfspace depth" by M. Hallin, D. Paindaveine and M. Siman [arXiv:1002.4486]Comment: Published in at http://dx.doi.org/10.1214/09-AOS723REJ the Annals of Statistics (http://www.imstat.org/aos/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org

Fast computation of Tukey trimmed regions and median in dimension p>2p>2

Given data in $\mathbb{R}^{p}$, a Tukey $\kappa$-trimmed region is the set of all points that have at least Tukey depth $\kappa$ w.r.t. the data. As they are visual, affine equivariant and robust, Tukey regions are useful tools in nonparametric multivariate analysis. While these regions are easily defined and interpreted, their practical use in applications has been impeded so far by the lack of efficient computational procedures in dimension $p > 2$. We construct two novel algorithms to compute a Tukey $\kappa$-trimmed region, a na\"{i}ve one and a more sophisticated one that is much faster than known algorithms. Further, a strict bound on the number of facets of a Tukey region is derived. In a large simulation study the novel fast algorithm is compared with the na\"{i}ve one, which is slower and by construction exact, yielding in every case the same correct results. Finally, the approach is extended to an algorithm that calculates the innermost Tukey region and its barycenter, the Tukey median

Unified unconditional regression for multivariate quantiles, M-quantiles and expectiles

In this paper, we develop a unified regression approach to model unconditional quantiles, M-quantiles and expectiles of multivariate dependent variables exploiting the multidimensional Huber's function. To assess the impact of changes in the covariates across the entire unconditional distribution of the responses, we extend the work of Firpo et al. (2009) by running a mean regression of the recentered influence function on the explanatory variables. We discuss the estimation procedure and establish the asymptotic properties of the derived estimators. A data-driven procedure is also presented to select the tuning constant of the Huber's function. The validity of the proposed methodology is explored with simulation studies and through an application using the Survey of Household Income and Wealth 2016 conducted by the Bank of Italy

A Bayesian Approach to Multiple-Output Quantile Regression

This paper presents a Bayesian approach to multiple-output quantile regression. The unconditional model is proven to be consistent and asymptotically correct frequentist confidence intervals can be obtained. The prior for the unconditional model can be elicited as the ex-ante knowledge of the distance of the tau-Tukey depth contour to the Tukey median, the first prior of its kind. A proposal for conditional regression is also presented. The model is applied to the Tennessee Project Steps to Achieving Resilience (STAR) experiment and it finds a joint increase in tau-quantile subpopulations for mathematics and reading scores given a decrease in the number of students per teacher. This result is consistent with, and much stronger than, the result one would find with multiple-output linear regression. Multiple-output linear regression finds the average mathematics and reading scores increase given a decrease in the number of students per teacher. However, there could still be subpopulations where the score declines. The multiple-output quantile regression approach confirms there are no quantile subpopulations (of the inspected subpopulations) where the score declines. This is truly a statement of `no child left behind' opposed to `no average child left behind.

Una evaluación del pass-through en la Argentina usando funciones impulso respuesta de cuantiles multivariados

Este trabajo implementa modelos econométricos de cuantiles multivariados para evaluar el pass-through del tipo de cambio a precios y producto. El nuevo análisis revela heterogeneidad en las respuestas ante un shock cambiario. Primero, los efectos de la media, calculados con un modelo VAR en la media, no resultan adecuados para el producto y la inflación. De hecho los efectos calculados de esta manera se condicen con cuantiles extremos en el análisis propuesto en este trabajo. Segundo, los efectos de pass-through usando el tipo de cambio oficial sobre el producto y la inflación dependen mayormente de los cuantiles de cada variable y no parece haber efectos cruzados. Es decir, los efectos sobre el producto varían con los cuantiles del producto pero no de la inflación. En el mismo sentido, los efectos sobre la inflación no dependen de los cuantiles del producto y sí de la misma inflación. Existen efectos cruzados, sin embargo, cuando usamos el tipo de cambio blue. En términos del pass-through a precios se observa que el traslado es mayor (menor) para menores (mayores) cuantiles de la inflación.  Tercero, tanto el producto como la inflación dependen de los cuantiles del tipo de cambio. Esto significa que ciertas dinámicas altas del tipo de cambio pueden producir dinámicas de alto pass-through (negativo para el producto, positivo para la inflación)

An evaluation of pass-through in Argentina using multivariate quantile impulse response functions

Este trabajo implementa modelos econométricos de cuantiles multivariados para evaluar la heterogeneidad del pass-through del tipo de cambio a precios y producto en la Argentina 2004-2018. El nuevo análisis revela heterogeneidad en las respuestasante un shock cambiario. Primero, los efectos de la media, calculados con unmodelo VAR en la media, no resultan adecuados para el producto y la infl ación. Dehecho, los efectos calculados de esta manera se condicen con cuantiles extremos enel análisis propuesto en este trabajo. Segundo, los efectos de pass-through usando eltipo de cambio ofi cial sobre el producto y la infl ación dependen mayormente de loscuantiles de cada variable y no parece haber efectos cruzados. Es decir, los efectossobre el producto varían con los cuantiles del producto, pero no de la inflación.En el mismo sentido, los efectos sobre la infl ación no dependen de los cuantilesdel producto y sí de la misma infl ación. Existen efectos cruzados, sin embargo,cuando usamos el tipo de cambio blue. En términos del pass-through a precios seobserva que el traslado es mayor (menor) para menores (mayores) cuantiles de la inflación. Tercero, tanto el producto como la inflación dependen de los cuantiles del tipo de cambio. Esto signifi ca que ciertas dinámicas altas del tipo de cambiopueden producir dinámicas de alto pass-through (negativo para el producto, positivopara la inflación).This article implements multivariate quantiles econometric models to evaluate the heterogeneity in price and product pass-through in Argentina 2004-2018. The novel analysis reveals response heterogeneity after an exchange rate shock. First, the mean effects computed using standard VAR techniques on the mean are not adequate for product and infl ation. In fact, the effects computed this way are similar to those in extreme quantiles as estimated in this paper. Second, pass-through effects using the official exchange rate on infl ation and product mainly depend on each variables’ quantiles, and there are no cross effects. That is, the product effects vary with the product quantiles, but not those of inflation. Similarly, the effects on infl ation do not depend on product but on infl ation only quantiles. There are cross effects, however, when using the unoffi cial exchange rate. The pass-through effect on prices is higher (lower) for low (high) infl ation quantiles. Third, both product and infl ation depend on the exchange rate quantiles. Thus certain exchange rate dynamics may produce high pass-through dynamics (negative for product, positive for inflation).Fil: Montes Rojas, Gabriel Victorio. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Saavedra 15. Instituto Interdisciplinario de Economía Política de Buenos Aires. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Económicas. Instituto Interdisciplinario de Economía Política de Buenos Aires; Argentin