On clique‐inverse graphs of graphs with bounded clique number

The clique graph K(G) of G is the intersection graph of the family of maximal cliques of G. For a family F of graphs, the family of clique-inverse graphs of F, denoted by K−1(F), is defined as K−1(F) = {H|K(H) ∈ F}. Let F p be the family of Kp-free graphs, that is, graphs with clique number at most p − 1, for an integer constant p ≥ 2. Deciding whether a graph H is a clique-inverse graph of F p can be done in polynomial time; in addition, for p ∈ {2, 3, 4}, K − 1 (Fp) can be characterized by a finite family of forbidden induced subgraphs. In Protti and Szwarcfiter, the authors propose to extend such characterizations to higher values of p. Then a natural question arises: Is there a characterization of K − 1 (Fp) by means of a finite family of forbidden induced subgraphs, for any p ≥ 2? In this note we give a positive answer to this question. We present upper bounds for the order, the clique number, and the stability number of every forbidden induced subgraph for K − 1 (Fp) in terms of p.Facultad de Ciencias Exacta

On clique-inverse graphs of graphs with bounded clique number.

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Sobre grafos clique críticos

Se llama completo de un grafo a un conjunto de vértices adyacentes entre si; si un completo es maximal con respecto a la inclusión, se dice que es un clique del grafo. Los cliques son estructuras especiales que naturalmente han despertado interés desde el mismo inicio de la Teoría de Grafos. Varios problemas famosos, como por ejemplo el problema de coloración de un grafo, o el problema de satisfabilidad de una fórmula lógica, se han vinculado y formulado en términos de los cliques de un grafo. Por otro lado, existe una gama de problemas motivados en el propio estudio de los cliques de un grafo. Particularmente haremos foco en el estudio del grafo que muestra la relación de intersección entre los cliques: el grafo clique. Dado un grafo H obtenemos el grafo clique de él, (notado K(H)) considerando un vértice por cada clique de H y haciendo dos vértices adyacentes si los correspondientes cliques tienen intersección no vacía. A H se lo llama generador del grafo K(H). ¿Todo grafo es el grafo clique de algún grafo? El artículo de más vieja data en el que se considera esta pregunta es el de Hamelink donde se muestra que no todo grafo es grafo clique, y se da una condición suficiente para que un grafo sea grafo clique: que la familia de sus cliques tenga la propiedad de Helly (toda subfamilia mutuamente intersectante tiene intersección no vacía). A los grafos que satisfacen esta condición les llamaremos grafos clique Helly. Posteriormente Roberts y Spencer, continuando con las ideas de Hamelink, encuentran una condición necesaria y suficiente para que un grafo sea grafo clique: que exista una familia de completos (no necesariamente los cliques) que cubra las aristas del grafo y que tenga la propiedad de Helly. A tales familias las llamaremos familias RS. El problema de determinar la complejidad del reconocimiento de los grafos clique permaneció abierto por más de treinta años, surgiendo en tanto, varias publicaciones al respecto. Se ha probado que tal problema de reconocimiento es NP-completo; y que permanece siendo NP-completo aún restringido a la clase de los grafos split. Siguiendo esta línea de trabajo, se ha desarrollado un algoritmo no polinomial para decidir si un grafo es grafo clique o no; y se ha probado que el problema de reconocimiento de los grafos clique puede reducirse al estudio de los grafos de diámetro 2. Se ha presentado una forma de obtener, a partir de una familia RS de un grafo G, otro grafo tal que su grafo clique sea G. ¿Cuántos generadores tiene un grafo clique? La operación de agregar un vértice v a un grafo H y hacerlo adyacente a todos los vértices de un clique de H nos devuelve un nuevo grafo que tiene la misma imagen que H por K. Se puede concluir que si G es un grafo clique entonces hay infinitos grafos que generan G. Esto motiva la definición de generador crítico, que es un generador minimal respecto a la cantidad de vértices; es decir, H es generador crítico de G si K(H) = G y K(H-v) es distinto de G para todo v perteneciente a H. Es bien conocido que la cantidad de generadores críticos de un grafo clique es finita. ¿Cuáles son aquellos grafos que tienen un único generador critico? Esta pregunta es formulada por primera vez por Escalante, posteriormente fue considerada por los autores Chong-Kean y Yee-Hock. El problema de caracterizar los grafos clique con un único generador crítico permanece abierto. ¿Cuáles son aquellos que generan un completo? Encontramos en la literatura el trabajo de Lucchesi, Picinin de Mello y Szwarcfiter donde se describen los generadores críticos de un completo satisfaciendo tales que no tienen vértice universal y son minimales en el sentido de que no contienen un subgrafo inducido sin vértice universal que genere un completo. Dado un entero positivo p, ¿cuáles son los grafos H tales que K(H) tiene un completo de tamaño p, pero K(H-v) no tiene un completo de tamaño p cualquiera sea el vértice v? En otras palabras, ¿cuáles son los subgrafos prohibidos minimales para la familia K^{-1}(K_p-libre)? Protti y Szwarcfiter estudiaron este problema y describieron mediante subgrafos prohibidos minimales las clases K^{-1}(K_3-libre) y K^{-1}(K_4-libre). Dado un grafo G clique Helly, ¿existe un vértice v en G tal que G-v es también clique Helly? Dourado, Protti y Szwarcfiter se hicieron esta pregunta y conjeturaron que la respuesta era positiva, es decir, todo grafo clique Helly contiene un vértice tal que al removerlo se obtiene nuevamente un grafo clique Helly. A lo largo de la tesis analizamos cada una de estas cuestiones y aportamos resultados originales sobre ellasFacultad de Ciencias ExactasConsejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnica