2 research outputs found
Some classes of graphs with given bound for second largest eigenvalue
Predmet ove disertacije pripada oblasti spektralne teorije grafova, mladoj grani
matematičke kombinatorike, odnosno teorije grafova, koja u današnje vreme nalazi
važne primene u mnogim poljima, kao što su hemija, fizika, računarstvo,
telekomunikacije, sociologija, itd. kao i razne oblasti matematike. Spektralna teorija
grafova dovodi u vezu osnovne osobine i strukturu grafa sa osobinama spektra njegovih
matrica (matrice susedstva, Laplasove matrice itd.). U ovoj disertaciji reč je isključivo o
spektru matrice susedstva grafa. Druga po veličini sopstvena vrednost matrice
susedstva grafa (kraće, druga sopstvena vrednost grafa), kao i njeno rastojanje od
najveće sopstvene vrednosti, od značaja su naročito za primenu spektralne teorije u
računarstvu. Osobina grafa da mu posmatrana sopstvena vrednost ne prevazilazi dato
ograničenje jeste nasledna osobina, pa su mnoga istraživanja o ovakvim ograničenjima
išla u pravcu nalaženja maksimalnih dozvoljenih grafova ili nalaženja minimalnih
zabranjenih grafova za tu osobinu.
Ova disertacija bavi se određivanjem nekih klasa grafova koje imaju dato ograničenje
druge sopstvene vrednosti matrice susedstva grafa i u tom cilju razvija neke vrlo korisne
instrumente. U metodološkom smislu istraživanja u ovoj disertaciji predstavljaju spregu
primene algebarskog aparata i metoda spektralne teorije grafova i kombinatorog
rezonovanja, dok je u pojedinim fazama korišćen i ekspertni sistem newGRAPH.
Disertacija sadrži osam glava, koje su podeljene na delove.
Na početku se navode prethodni rezultati, a zatim se uvode i razvijaju novi i originalni
elementi algebarsko-kombinatornog aparata koji ubrzava i olakšava dalji rad. Definišu
se preslikavanja između određenih familija grafova, od kojih neka čuvaju znak izraza
λ2 - 2 i pomoću njih se opisuju i sistematizuju neki već poznati rezultati na nov način.
Zatim se u potpunosti određuju svi maksimalni refleksivni triciklički kaktusi koji nisu
RS-odlučivi i čije konture ne čine snop iz klasa R1 i R3 i daju parcijalni rezultati koji se
tiču klase R2 , uz primenu prethodno uvedenih preslikavanja (dosad su u potpunosti bili
određeni samo oni iz preostale klase R4 [40], [46]). Dalje se kompletno opisuju svi
minimalni zabranjeni grafovi u klasi bicikličkih grafova sa mostom i svi minimalni
zabranjeni grafovi u klasi R3 - pristup koji kod refleksivnih grafova još nije bio
korišćen. Zatim se određuje maksimalan broj kontura za RS-neodlučive refleksivne
kaktuse za slučaj kad konture sadrže snop, a time i uopšte za RS-neodlučive refleksivne
kaktuse, i opisuju tri klase maksimalnih refleksivnih RS-neodlučivih kaktusa koji sadrže
snop kontura. Posle toga su uopšteni neki prethodni rezultati: iskazano je i dokazano
uopštenje RS-teoreme (tzv. GRS-teorema) za bilo koje r, r > 0 ; uopštena su prethodno
uvedena preslikavanja, dokazane su osobine uopštenja i dati različiti primeri klasa
grafova sa osobinom λ2 0 ). Na osnovu prethodnog, opisani su svi GRSneodlučivi
maksimalni grafovi za osobinu λ2 < 2 u klasi unicikličkih i multicikličkih
kaktusa i svi GRS-neodlučivi maksimalni θ-grafovi za isto svojstvo, kao i sva GRSneodlučiva
maksimalna stabla sa osobinom λ2<5+1/2. Takođe je razmatrano
ograničenje 3 (kao i u [28]) i opisani su sva stabla sa dijametrom 3 i dijametrom
većim od 8, sa osobinom λ2 <3 , kao i svi GRS-neodlučivi multiciklički kaktusi sa
istom osobinom. Na kraju su uvedene i primenjene tzv. σ-modifikacije Smitovih stabala.
Opisano je sedam σ-modifikacija i odgovarajućih ekstenzija i uočeno je njihovo
pojavljivanje u (već poznatim) rezultatima u klasi multicikličkih refleksivnih kaktusa sa
4 konture. Primenom nekih ekstenzija na određene familije tricikličkih kaktusa na drugi
način se došlo do rezultata u klasi multicikličkih refleksivnih kaktusa sa 4 konture [48].
Na kraju disertacije, u zaključku, ukazano je na moguće pravce daljih istraživanja.The subject of this dissertation belongs to scientific field of spectral graph theory, a
young branch of mathematical combinatorics, i.e. graph theory, which finds important
applications in many areas, such as chemistry, physics, computer science,
telecommunications, sociology, etc., and various fields of mathematics. Spectral graph
theory connects basic properties and the structure of a graph with characteristics of the
spectra of its matrices (adjacency matrix, Laplacian matrix, etc.). In this dissertation we
only work with the adjacency matrix. The second largest eigenvalue of the adjacency
matrix of a graph (or, simply, second largest eigenvalue of a graph), as well as its
distance from the largest eigenvalue, are very important especially in applications of
spectral graph theory in computer science. The property of a graph that one of its
eigenvalues does not exceed some given value is a hereditary one; therefore, many of
the investigations of this kind have been directed at finding the maximal allowed
graphs, or minimal forbidden graphs for that property.
In this dissertation we determine some classes of graphs whose second largest
eigenvalue does not exceed some given value, and, for that purpose, we develop some
very useful tools. In methodological sense, investigations in this dissertation represent a
combined approach consisting of application of the algebraic apparatus and methods of
spectral graph theory and combinatorial reasoning, whilst at some stages the expert
system newGRAPH has been used. The dissertation consists of eight chapters, each of
which is divided into subchapters.
In the beginning, some important previous work is shown, and afterwards we present
some original elements of the algebraic and combinatorial apparatus that speed up and
simplify the further work. We define some mappings between certain families of
graphs, some of which preserve the sign of the expression λ2 - 2 , and, using them, we
describe and systematize some (already known) results in a new way. Further on we
completely determine all maximal reflexive tricyclic cacti which are not RS-decidable
and whose cycles do not form a bundle, from the classes R1 and R3 , and we give some
partial results about the class R2 , using previously induced mappings (until now only
the graphs from the remaining class R4 have been completely determined [40], [46]).
Next, we completely describe all minimal forbidden graphs in the class of bicyclic
graphs with a bridge, and all minimal forbidden graphs in the class R3 - the approach
that so far has never been used with reflexive graphs. Then we determine the maximal
number of the cycles for RS-undecidable reflexive cacti whose cycles do form a bundle,
and, therefore, generally for RS-undecidable reflexive cacti and we describe three
classes of maximal reflexive RS-undecidable reflexive cacti that contain a bundle.
Further on, some of the previous results are generalized: the generalized RS-theorem is
stated and proved (so-called GRS-theorem) for any r , r > 0 ; previously induced
mappings are generalized, their properties are proved and various examples of classes of
graphs with the property λ2 - 0 ) are given. Based on this, we describe all
GRS-undecidable maximal graphs for the property λ2 < 2 in the class of unicyclic and
multicyclic graphs, and also all RS-undecidable maximal θ-graphs for this property as
well as all GRS-undecidable maximal trees with the property λ2 <5+1/2. Furthermore,
we investigate the limit 3 (as in [28]) and we describe all trees with the diameter 3
and the diameter larger than 8, with the property λ2 < 3 , as well as all GRSundecidable
multicyclic cacti with the same property. Finally, we introduce and apply
so-called σ-modifications of Smith trees. We describe seven σ-modifications and
corresponding extensions, and we notice the appearance in (already known) results in
the class of multicyclic reflexive cacti with 4 cycles. Applying some extensions to
certain families of tricyclic cacti, we obtained the results in the class of multicyclic
reflexive cacti with 4 cycles, using a different approach [48].
Finally, in the conclusion, we suggest some possible directions of further investigations