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A Semantics for Hybrid Iteration
The recently introduced notions of guarded traced (monoidal) category and guarded (pre-)iterative monad aim at unifying different instances of partial iteration whilst keeping in touch with the established theory of total iteration and preserving its merits. In this paper we use these notions and the corresponding stock of results to examine different types of iteration for hybrid computations. As a starting point we use an available notion of hybrid monad restricted to the category of sets, and modify it in order to obtain a suitable notion of guarded iteration with guardedness interpreted as progressiveness in time - we motivate this modification by our intention to capture Zeno behaviour in an arguably general and feasible way. We illustrate our results with a simple programming language for hybrid computations and interpret it over the developed semantic foundations
Optimierung autonom schaltender dynamischer Hybridsysteme
ï»żSimulation and optimization based on physical models are indispensable
tools in process engineering, since they allow for cost-efficient
improvement of design and operation. However, a broad variety of
optimization problems are complicated due to the hybrid nature of the
dynamic process model, e.g., in chemical processes, power plants and
transport vehicles. In these kinds of systems, the continuous dynamics is
strongly coupled with discrete phenomena such as transitions between
operation modes. This in general leads to nonsmooth or even discontinuous
state trajectories which makes the optimization of such systems an
extremely challenging task. In this thesis, hybrid dynamic systems with
autonomous mode transitions are considered, i.e., systems where the mode
transition occurs autonomously when the system state fulfills a certain
switching condition.In hybrid dynamic optimization problems, the switching
between operation modes needs a specific treatment which eliminates the
points of discontinuity or reformulates the model description into a
continuous one. In this thesis, two reformulation methods are presented.
The key step in both reformulation methods is the introduction of a
continuous switching variable which, on the one hand, makes the problem
smoother and, on the other hand, retains the hybrid feature in some way.
This, generally, leads to a tradeoff of accuracy vs. stability and
robustness of the optimization algorithm. The smoothing method proposed in
this thesis approximates the instantaneous switch by a fast but smooth
transition function. Another approach considered in the present work is
smoothing by a penalty approach. In this method, the hybrid dynamic
optimization problem is formulated as a bilevel problem. The inner
minimization problem will then be replaced by ist optimality conditions.
The resulting complementarity constraints enter the objective function of
the outer problem as a penalty term. As a third method in this thesis a
novel approach is proposed which employs the idea of state event detection
and location and extends it to optimization. Once a state event is
detected, the system is restarted in a new operation mode. Since the
optimization is stopped and restarted at transition points, only problems
involving continuous models with continuous state trajectories and
gradients need to be solved. Therefore, the direct treatment of hybrid
features is avoided and thus the complexity in the solution procedure can
be significantly reduced.The functionality and effectivness of all three
approaches are illustrated by relatively simple examples. Furthermore, the
application to more complex problems with relevance for, e.g. process
industries is presented.Die vorliegende Arbeit beschÀftigt sich mit der Entwicklung und dem
Test von Methoden zur Optimierung autonom schaltender dynamischer
Hybridsysteme. Unter âAutonom schaltenden dynamischen Hybridsystemenâ
werden hier dynamische Systeme verstanden, bei denen gemÀà definierten
Schaltbedingungen zwischen verschiedenen diskreten Betriebsmodi
umgeschaltet wird. Autonom schaltende dynamische Hybridsysteme sind von
groĂer praktischer Relevanz, weil sie bei zahlreichen industriellen
Prozessen (z. B. bei Anfahrprozessen oder Verdampfungsprozessen) auftreten.
Die Optimierung solcher Prozesse zielt auf hohe Effizienz bei gleichzeitig
steigenden Anforderungen an UmweltvertrÀglichkeit und Sicherheit.Bei der
Optimierung autonom schaltender dynamischer Hybridsysteme besteht die
wissenschaftliche Herausforderung darin, die gemischt
diskret-kontinuierlichen Optimierungsprobleme so zu formulieren, dass (i)
die Lösungsmethode möglichst allgemein anwendbar ist und (ii) eine
Lösung von hinreichender Genauigkeit mit?(iii) vertretbarem Rechenaufwand
gefunden werden kann. Die besondere Schwierigkeit ist auf die
Nichtglattheit oder sogar Unstetigkeit von Zustandstrajektorien oder deren
Gradienten an den Umschaltpunkten zurĂŒckzufĂŒhren. Die in dieser Arbeit
untersuchten Methoden zielen deshalb darauf ab, diese Unstetigkeiten aus
den Optimierungsproblemen zu eliminieren. Dies geschieht in der
vorgeschlagenen GlÀttungsmethode mittels der Approximation der das
Umschalten beschreibenden Stufenfunktion durch eine GlÀttungsfunktion.
Alternativ wird zur GlÀttung des Optimierungsproblems ein Strafverfahren
verwendet. Hierbei wird zunÀchst ein Zweiebenenproblem definiert. Das
innere Minimierungsproblem wird anschlieĂend durch seine
OptimalitÀtsbedingungen ersetzt und die darin auftretenden komplementÀren
BeschrĂ€nkungen gehen als Strafterme in die Zielfunktion des Ă€uĂeren
Optimierungsproblems ein.Der dritte methodische Ansatz verwendet die im
Rahmen der Simulation dynamischer Hybridsysteme entwickelte Idee zum
Anhalten und Neustarten der Integration an den Umschaltpunkten des Systems.
Die im Rahmen einer Simulation dem autonomen Umschalten dienenden Schritte
werden fĂŒr Optimierungsprobleme analog realisiert. Dabei unterscheidet
sich die konkrete Umsetzung vor allem bezĂŒglich der Bestimmung der
Schaltzeiten und des Festhaltens des aktuellen Betriebsmodus.Die
Funktionsweise aller untersuchten Methoden wird durch kleine Fallbeispiele
im Rahmen der Methodenentwicklung illustriert. Im Anschluss erfolgt jeweils
die Anwendung auf komplexere Problemstellungen