9 research outputs found

    Interpolation by Linear Functions on an nn-Dimensional Ball

    Full text link
    By B=B(x(0);R)B=B(x^{(0)};R) we denote the Euclidean ball in Rn{\mathbb R}^n given by the inequality xx(0)R\|x-x^{(0)}\|\leq R. Here x(0)Rn,R>0x^{(0)}\in{\mathbb R}^n, R>0, x:=(i=1nxi2)1/2\|x\|:=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}. We mean by C(B)C(B) the space of continuous functions f:BRf:B\to{\mathbb R} with the norm fC(B):=maxxBf(x)\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)| and by Π1(Rn)\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right) the set of polynomials in nn variables of degree 1\leq 1, i.e., linear functions on Rn{\mathbb R}^n. Let x(1),,x(n+1)x^{(1)}, \ldots, x^{(n+1)} be the vertices of nn-dimensional nondegenerate simplex SBS\subset B. The interpolation projector P:C(B)Π1(Rn)P:C(B)\to \Pi_1({\mathbb R}^n) corresponding to SS is defined by the equalities Pf(x(j))=f(x(j)).Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right). We obtain the formula to compute the norm of PP as an operator from C(B)C(B) into C(B)C(B) via x(0)x^{(0)}, RR and coefficients of basic Lagrange polynomials of SS. In more details we study the case when SS is a regular simplex inscribed into Bn=B(0,1)B_n=B(0,1).Comment: 17 pages, 6 figures, 1 tabl

    О минимальном коэффициенте поглощения для n-мерного симплекса

    Get PDF
    Let  nNn\in{\mathbb N} and let QnQ_n be the unit cube [0,1]n[0,1]^n. For a nondegenerate simplex SRnS\subset{\mathbb R}^n, by σS\sigma S denote the homothetic copy of SS with center of homothety in the center of gravity of SS and ratio of homothety σ.\sigma. Put ξ(S)=min{σ1:QnσS}.\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}. We call ξ(S)\xi(S)  an absorption index of simplex SS. In the present paper, we give new estimates for the minimal absorption index of the simplex contained in QnQ_n, i.\,e., for the number ξn=min{ξ(S):,SQn}.\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}. In particular, this value and its analogues have applications in estimates for the norms of interpolation projectors. Previously the first author proved some general estimates of ξn\xi_n. Always n\leq\xi_n< n+1. If there exists an Hadamard matrix of order n+1n+1, then ξn=n\xi_n=n. The best known general upper estimate has the form ξnn23n1\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}  (n>2). There exists a constant c>0 not depending on nn such that, for any simplex SQnS\subset Q_n of maximum volume, inequalities cξ(S)ξnξ(S)c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S) take place. It motivates the use of maximum volume simplices in upper estimates of ξn\xi_n. The set of vertices of such a simplex can be consructed with  application of maximum 0/10/1-determinant of order nn or maximum 1/1-1/1-determinant of order n+1n+1. In the paper, we compute absorption indices of maximum volume simplices in QnQ_n constructed from known maximum 1/1-1/1-determinants via a special procedure. For some nn, this approach makes it possible to lower theoretical upper bounds  of ξn\xi_n. Also we give best known upper estimates of ξn\xi_n for n118n\leq 118Пусть  nNn\in{\mathbb N}, Qn=[0,1]nQ_n=[0,1]^n.  Для невырожденного симплексаSRnS\subset{\mathbb R}^n через σS\sigma S обозначим образ SS при гомотетии относительно центра  тяжести  с коэффициентом σ.\sigma.Положим ξ(S)=min{σ1:QnσS}.\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}.Величину ξ(S)\xi(S) будем называть коэффициентом поглощения куба QnQ_n симплексом SS. В статье приводятся новые оценки для минимального коэффициента поглощения для симплекса, содержащегося в QnQ_n, т.е. величины ξn=min{ξ(S):,SQn}.\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}. Эта величина и её аналоги, в частности, имеют приложения при оцениваниинорм интерполяционных проекторов. Общие оценки ξn\xi_n были ранее получены в работах первого автора.Всегда n\leq\xi_n< n+1. Если существует матрица Адамара порядка n+1n+1, то ξn=n\xi_n=n.Лучшая из известных общих оценок сверху имеет вид ξnn23n1\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}  (n>2).Cуществует не зависящая от nn  константа c>0, такая что для любого симплекса SQnS\subset Q_n, имеющего максимальный объём, выполняются неравенства cξ(S)ξnξ(S)c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S). Это мотивиpует применение для оценивания ξn\xi_n сверху симплексов максимального объёма в QnQ_n. Для построения набора вершин такого симплекса могут применяться максимальный 0/10/1-определитель порядка nn или максимальный 1/1-1/1-определитель порядка n+1n+1. В работе вычисляются коэффициенты поглощения для симплексов максимального объёма, построенных с использованием специальной процедуры из известных максимальных 1/1-1/1-определителей. Для ряда значений nn c помощью этого подхода удалось понизить верхние границы ξn\xi_n, полученные теоретическим путём.Приводятся лучшие известные оценки ξn\xi_n cверху для n118n\leq 118

    О некоторых задачах для симплекса и шара в Rn

    Get PDF
    Let CC be a convex body and let SS be a nondegenerate simplex in Rn{\mathbb R}^n. Denote by τS\tau S the image of SS under homothety with a center of homothety in the center of gravity of SS and the ratio τ\tau. We mean by ξ(C;S)\xi(C;S) the minimal \tau>0 such that CC is a subset of the simplex τS\tau S. Define α(C;S)\alpha(C;S) as the minimal \tau>0 such that CC is contained in a translate of τS\tau S. Earlier the author has proved the equalities ξ(C;S)=(n+1)max1jn+1maxxC(λj(x))+1\xi(C;S)=(n+1)\max\limits_{1\leq j\leq n+1}\max\limits_{x\in C}(-\lambda_j(x))+1  (if C⊄SC\not\subset S), α(C;S)=j=1n+1maxxC(λj(x))+1.\alpha(C;S)=\sum\limits_{j=1}^{n+1} \max\limits_{x\in C} (-\lambda_j(x))+1.Here λj\lambda_j are the linear functions that are called the basic Lagrange polynomials corresponding to SS. The numbers λj(x),,λn+1(x)\lambda_j(x),\ldots, \lambda_{n+1}(x) are the barycentric coordinates of a point xRnx\in{\mathbb R}^n. In his previous papers, the author investigated these formulae in the case when CC is the nn-dimensional unit cube Qn=[0,1]nQ_n=[0,1]^n. The present paper is related to the case when CC coincides with the unit Euclidean ball Bn={x:x1},B_n=\{x: \|x\|\leq 1\}, where x=(i=1nxi2)1/2.\|x\|=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}. We establish various relations for ξ(Bn;S)\xi(B_n;S) and α(Bn;S)\alpha(B_n;S), as well as we give their geometric interpretation. For example, if λj(x)=l1jx1++lnjxn+ln+1,j,\lambda_j(x)=l_{1j}x_1+\ldots+l_{nj}x_n+l_{n+1,j}, then α(Bn;S)=j=1n+1(i=1nlij2)1/2\alpha(B_n;S)=\sum\limits_{j=1}^{n+1}\left(\sum\limits_{i=1}^n l_{ij}^2\right)^{1/2}. The minimal possible value of each characteristics ξ(Bn;S)\xi(B_n;S) and α(Bn;S)\alpha(B_n;S) for SBnS\subset B_n is equal to nn. This value corresponds to a regular simplex inscribed into BnB_n. Also we compare our results with those obtained in the case C=QnC=Q_n.Пусть CC --- выпуклое тело, SS невырожденный симплекс в Rn{\mathbb R}^n. Через τS\tau S обозначим образ SS при гомотетии относительно центра тяжести SS с коэффициентом τ\tau. Под ξ(C;S)\xi(C;S) понимается минимальное \tau>0, для которого CC является подмножеством симплекса τS\tau S. По определению, α(C;S)\alpha(C;S) есть минимальное \tau>0, такое что CC принадлежит трансляту симплекса τS\tau S. Ранее автор доказал, что справедливы равенства ξ(C;S)=(n+1)max1jn+1maxxC(λj(x))+1\xi(C;S)=(n+1)\max\limits_{1\leq j\leq n+1} \max\limits_{x\in C}(-\lambda_j(x))+1 (если C⊄SC\not\subset S), α(C;S)=j=1n+1maxxC(λj(x))+1.\alpha(C;S)= \sum\limits_{j=1}^{n+1} \max\limits_{x\in C} (-\lambda_j(x))+1. Здесь λj\lambda_j --- линейные функции, называемые базисными многочленами Лагранжа симплекса SS. Они таковы, что числа λj(x),,λn+1(x)\lambda_j(x),\ldots, \lambda_{n+1}(x) являются барицентрическими координатами точки xRnx\in{\mathbb R}^n. В предыдущих работах автора указанные формулы исследовались в ситуации, когда CC представляет собой nn-мерный единичный куб Qn=[0,1]nQ_n=[0,1]^n. В статье рассматривается случай, когда CC есть единичный евклидов шар Bn={x:x1},B_n=\{x: \|x\|\leq 1\}, где x=(i=1nxi2)1/2.\|x\|=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}. Устанавливаются различные соотношения для ξ(Bn;S)\xi(B_n;S) и~α(Bn;S)\alpha(B_n;S), а также приводится их геометрическая интерпретация. Например, если λj(x)=l1jx1++lnjxn+ln+1,j,\lambda_j(x)= l_{1j}x_1+\ldots+ l_{nj}x_n+l_{n+1,j}, то α(Bn;S)=j=1n+1(i=1nlij2)1/2\alpha(B_n;S)= \sum\limits_{j=1}^{n+1}\left(\sum\limits_{i=1}^n l_{ij}^2\right)^{1/2}. Минимальное возможное значение каждой из величин ξ(Bn;S)\xi(B_n;S), α(Bn;S)\alpha(B_n;S) для SBnS\subset B_n равно nn и соответствует правильному симплексу, вписанному в BnB_n. Даётся сравнение с результатами, полученными ранее для C=QnC=Q_n

    Oб оптимальной интерполяции линейными функциями на n-мерном кубе

    Get PDF
    Let nNn\in{\mathbb N}, and let QnQ_n be the unit cube [0,1]n[0,1]^n. By C(Qn)C(Q_n) we denote the space of continuous functions f:QnRf:Q_n\to{\mathbb R} with the norm fC(Qn):=maxxQnf(x),\|f\|_{C(Q_n)}:=\max\limits_{x\in Q_n}|f(x)|, by Π1(Rn)\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right) --- the set of polynomials of nn variables of degree 1\leq 1 (or linear functions). Let x(j),x^{(j)}, 1jn+1,1\leq j\leq n+1, be the vertices of nn-dimnsional nondegenerate simplex SQnS\subset Q_n. An interpolation projector P:C(Qn)Π1(Rn)P:C(Q_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n) corresponding to the simplex SS is defined by equalities Pf(x(j))=f(x(j)).Pf\left(x^{(j)}\right)= f\left(x^{(j)}\right). The norm of PP as an operator from C(Qn)C(Q_n) to C(Qn)C(Q_n) may be calculated by the formula P=maxxver(Qn)j=1n+1λj(x).\|P\|=\max\limits_{x\in ver(Q_n)} \sum\limits_{j=1}^{n+1} |\lambda_j(x)|. Here λj\lambda_j are the basic Lagrange polynomials with respect to S,S, ver(Qn)ver(Q_n) is the set of vertices of QnQ_n. Let us denote by θn\theta_n the minimal possible value of P.\|P\|. Earlier, the first author proved various relations and estimates for values P\|P\| and θn\theta_n, in particular, having geometric character. The equivalence θnn\theta_n\asymp \sqrt{n} takes place. For example, the appropriate, according to dimension nn, inequalities may be written in the form \linebreak 14n\frac{1}{4}\sqrt{n} <\theta_n <3\sqrt{n}. If the nodes of the projector PP^* coincide with vertices of an arbitrary simplex with maximum possible volume, we have Pθn.\|P^*\|\asymp\theta_n.When an Hadamard matrix of order n+1n+1 exists, holds θnn+1.\theta_n\leq\sqrt{n+1}. In the paper, we give more precise upper bounds of numbers θn\theta_n for 21n2621\leq n \leq 26. These estimates were obtained with the application of maximum volume simplices in the cube. For constructing such simplices, we utilize maximum determinants containing the elements ±1.\pm 1. Also, we systematize and comment the best nowaday upper and low estimates of numbers θn\theta_n for a concrete n.n.Пусть nNn\in{\mathbb N}, Qn=[0,1]nQ_n=[0,1]^n. Через C(Qn)C(Q_n) обозначим пространство непрерывных функций f:QnRf:Q_n\to{\mathbb R} с нормой fC(Qn):=maxxQnf(x),\|f\|_{C(Q_n)}:=\max\limits_{x\in Q_n}|f(x)|, через Π1(Rn)\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right) - совокупность многочленов от nn переменных степени 1\leq 1 (или линейных функций). Пусть x(j),x^{(j)}, 1jn+1,1\leq j\leq n+1, --- вершины nn-мерного невырожденного симплекса SQnS\subset Q_n. Интерполяционный проектор P:C(Qn)Π1(Rn)P:C(Q_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n), соответствующий симплексу SS, определяется равенствами Pf(x(j))=f(x(j)).Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right).Норма PP как оператора из C(Qn)C(Q_n) в C(Qn)C(Q_n) может быть вычислена по формуле P=maxxver(Qn)j=1n+1λj(x).\|P\|=\max\limits_{x\in ver(Q_n)} \sum\limits_{j=1}^{n+1} |\lambda_j(x)|. Здесь λj\lambda_j - базисные многочлены Лагранжа, соответствующие S,S, ver(Qn)ver(Q_n) - совокупность вершин QnQ_n. Через θn\theta_n обозначим минимальную величину P.\|P\|. Ранее первым автором были доказаны различные соотношения и оценки для величин P\|P\| и θn\theta_n, в том числе имеющие геометрический характер.Справедлива эквивалентность θnn.\theta_n\asymp \sqrt{n}. Подходящими по размерности nn неравенствами являются, например, \frac{1}{4}\sqrt{n}<\theta_n<3\sqrt{n}. Для проектора PP^*, узлы которого совпадают с вершинами произвольного симплекса максимального объёма в~кубе, выполняется Pθn.\|P^*\|\asymp\theta_n. Если существует матрица Адамара порядка n+1n+1, то θnn+1.\theta_n\leq\sqrt{n+1}. В настоящей статье приводятся уточнённые верхние границы чисел θn\theta_n для 21n2621\leq n \leq 26, полученные с применением симплексов максимального объёма в~кубе. Для построения этих симплексов применяются максимальные определители, элементы которых равны ±1.\pm 1. Мы также систематизируем и комментируем лучшие на настоящий момент верхние и нижние оценки чисел θn\theta_n для конкретных \(n.\

    On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex

    No full text
    Let  nNn\in{\mathbb N} and let QnQ_n be the unit cube [0,1]n[0,1]^n. For a nondegenerate simplex SRnS\subset{\mathbb R}^n, by σS\sigma S denote the homothetic copy of SS with center of homothety in the center of gravity of SS and ratio of homothety σ.\sigma. Put ξ(S)=min{σ1:QnσS}.\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}. We call ξ(S)\xi(S)  an absorption index of simplex SS. In the present paper, we give new estimates for the minimal absorption index of the simplex contained in QnQ_n, i.\,e., for the number ξn=min{ξ(S):,SQn}.\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}. In particular, this value and its analogues have applications in estimates for the norms of interpolation projectors. Previously the first author proved some general estimates of ξn\xi_n. Always n\leq\xi_n< n+1. If there exists an Hadamard matrix of order n+1n+1, then ξn=n\xi_n=n. The best known general upper estimate has the form ξnn23n1\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}  (n>2). There exists a constant c>0 not depending on nn such that, for any simplex SQnS\subset Q_n of maximum volume, inequalities cξ(S)ξnξ(S)c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S) take place. It motivates the use of maximum volume simplices in upper estimates of ξn\xi_n. The set of vertices of such a simplex can be consructed with  application of maximum 0/10/1-determinant of order nn or maximum 1/1-1/1-determinant of order n+1n+1. In the paper, we compute absorption indices of maximum volume simplices in QnQ_n constructed from known maximum 1/1-1/1-determinants via a special procedure. For some nn, this approach makes it possible to lower theoretical upper bounds  of ξn\xi_n. Also we give best known upper estimates of ξn\xi_n for \(n\leq 118\

    On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex

    No full text

    Matrices having the largest known determinant in machine-readable form

    No full text
    The data set contains matrices having maximal known determinant of various orders (up to 119). Data taken from the site http://www.indiana.edu/~maxdet/ In our dataset, matrices are presented in machine-readable form, convenient for use in programs. We used these data in the preparation of articles 1) Nevskii, M.V. & Ukhalov, A.Y. On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex. Automatic Control and Computer Sciences. 2018. Volume 52, Issue 7, pp 680–687. https://doi.org/10.3103/S0146411618070209 In Russian: Nevskii M.V., Ukhalov A.Y. On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018. Volume 25, No 1, pp. 140-150. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-140-150 2) Nevskii, M.V. & Ukhalov, A.Y. On Optimal Interpolation by Linear Functions on n-Dimensional Cube. Automatic Control and Computer Sciences. 2018. Volume 52, Issue 7, pp 828–842. https://doi.org/10.3103/S0146411618070283 In Russian: Nevskii M.V., Ukhalov A.Y. On Optimal Interpolation by Linear Functions on an n-Dimensional Cube. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018. Volume 25, No 3, pp. 291-311. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-291-311 3) Nevskii, M. and Ukhalov, A. Properties of (0, 1)-matrices of order n having maximal determinant. Mathematical notes of NEFU. 2019. Volume 26, No 2, pp. 109-115. https://doi.org/10.25587/SVFU.2019.102.31516 Definitions, basic facts and formulas can be found in the listed works. See also the bibliography in these articles. We also present some programs in the Wolfram Language that were used in the above researches. Each file is presented in three formats: Wolfram Mathematica Notebook, PDF, and Plain Text. Files: 1) Matrices_Plus_Minus_One_MaxDet - matrices of various order 2) Hadamard_24 - sixty Hadamard matrices of order 24 3) Calculating_Procedures - some functions for processing matrices 4) Tests - examples of using functions and calculations with dat

    Matrices having the largest known determinant in machine-readable form

    No full text
    The data set contains matrices having maximal known determinant of various orders (up to 119). Data taken from the site http://www.indiana.edu/~maxdet/ In our dataset, matrices are presented in machine-readable form, convenient for use in programs. We used these data in the preparation of articles 1) Nevskii, M.V. & Ukhalov, A.Y. On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex. Automatic Control and Computer Sciences. 2018. Volume 52, Issue 7, pp 680–687. https://doi.org/10.3103/S0146411618070209 In Russian: Nevskii M.V., Ukhalov A.Y. On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018. Volume 25, No 1, pp. 140-150. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-140-150 2) Nevskii, M.V. & Ukhalov, A.Y. On Optimal Interpolation by Linear Functions on n-Dimensional Cube. Automatic Control and Computer Sciences. 2018. Volume 52, Issue 7, pp 828–842. https://doi.org/10.3103/S0146411618070283 In Russian: Nevskii M.V., Ukhalov A.Y. On Optimal Interpolation by Linear Functions on an n-Dimensional Cube. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018. Volume 25, No 3, pp. 291-311. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-291-311 3) Nevskii, M. and Ukhalov, A. Properties of (0, 1)-matrices of order n having maximal determinant. Mathematical notes of NEFU. 2019. Volume 26, No 2, pp. 109-115. https://doi.org/10.25587/SVFU.2019.102.31516 Definitions, basic facts and formulas can be found in the listed works. See also the bibliography in these articles. We also present some programs in the Wolfram Language that were used in the above researches. Each file is presented in three formats: Wolfram Mathematica Notebook, PDF, and Plain Text. Files: 1) Matrices_Plus_Minus_One_MaxDet - matrices of various order 2) Hadamard_24 - sixty Hadamard matrices of order 24 3) Calculating_Procedures - some functions for processing matrices 4) Tests - examples of using functions and calculations with dat
    corecore