Interpolation by Linear Functions on an nn-Dimensional Ball

By $B=B(x^{(0)};R)$ we denote the Euclidean ball in ${\mathbb R}^n$ given by the inequality $\|x-x^{(0)}\|\leq R$. Here $x^{(0)}\in{\mathbb R}^n, R>0$, $\|x\|:=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}$. We mean by $C(B)$ the space of continuous functions $f:B\to{\mathbb R}$ with the norm $\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|$ and by $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ the set of polynomials in $n$ variables of degree $\leq 1$, i.e., linear functions on ${\mathbb R}^n$. Let $x^{(1)}, \ldots, x^{(n+1)}$ be the vertices of $n$-dimensional nondegenerate simplex $S\subset B$. The interpolation projector $P:C(B)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$ corresponding to $S$ is defined by the equalities $Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right).$ We obtain the formula to compute the norm of $P$ as an operator from $C(B)$ into $C(B)$ via $x^{(0)}$, $R$ and coefficients of basic Lagrange polynomials of $S$. In more details we study the case when $S$ is a regular simplex inscribed into $B_n=B(0,1)$.Comment: 17 pages, 6 figures, 1 tabl

О минимальном коэффициенте поглощения для n-мерного симплекса

Let  $n\in{\mathbb N}$ and let $Q_n$ be the unit cube $[0,1]^n$. For a nondegenerate simplex $S\subset{\mathbb R}^n$, by $\sigma S$ denote the homothetic copy of $S$ with center of homothety in the center of gravity of $S$ and ratio of homothety $\sigma.$ Put $\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}.$ We call $\xi(S)$  an absorption index of simplex $S$. In the present paper, we give new estimates for the minimal absorption index of the simplex contained in $Q_n$, i.\,e., for the number $\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}.$ In particular, this value and its analogues have applications in estimates for the norms of interpolation projectors. Previously the first author proved some general estimates of $\xi_n$. Always n\leq\xi_n< n+1. If there exists an Hadamard matrix of order $n+1$, then $\xi_n=n$. The best known general upper estimate has the form $\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}$  (n>2). There exists a constant c>0 not depending on $n$ such that, for any simplex $S\subset Q_n$ of maximum volume, inequalities $c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S)$ take place. It motivates the use of maximum volume simplices in upper estimates of $\xi_n$. The set of vertices of such a simplex can be consructed with  application of maximum $0/1$-determinant of order $n$ or maximum $-1/1$-determinant of order $n+1$. In the paper, we compute absorption indices of maximum volume simplices in $Q_n$ constructed from known maximum $-1/1$-determinants via a special procedure. For some $n$, this approach makes it possible to lower theoretical upper bounds  of $\xi_n$. Also we give best known upper estimates of $\xi_n$ for $n\leq 118$Пусть  $n\in{\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n$.  Для невырожденного симплекса$S\subset{\mathbb R}^n$ через $\sigma S$ обозначим образ $S$ при гомотетии относительно центра  тяжести  с коэффициентом $\sigma.$Положим $\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}.$Величину $\xi(S)$ будем называть коэффициентом поглощения куба $Q_n$ симплексом $S$. В статье приводятся новые оценки для минимального коэффициента поглощения для симплекса, содержащегося в $Q_n$, т.е. величины $\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}.$ Эта величина и её аналоги, в частности, имеют приложения при оцениваниинорм интерполяционных проекторов. Общие оценки $\xi_n$ были ранее получены в работах первого автора.Всегда n\leq\xi_n< n+1. Если существует матрица Адамара порядка $n+1$, то $\xi_n=n$.Лучшая из известных общих оценок сверху имеет вид $\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}$  (n>2).Cуществует не зависящая от $n$  константа c>0, такая что для любого симплекса $S\subset Q_n$, имеющего максимальный объём, выполняются неравенства $c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S)$. Это мотивиpует применение для оценивания $\xi_n$ сверху симплексов максимального объёма в $Q_n$. Для построения набора вершин такого симплекса могут применяться максимальный $0/1$-определитель порядка $n$ или максимальный $-1/1$-определитель порядка $n+1$. В работе вычисляются коэффициенты поглощения для симплексов максимального объёма, построенных с использованием специальной процедуры из известных максимальных $-1/1$-определителей. Для ряда значений $n$ c помощью этого подхода удалось понизить верхние границы $\xi_n$, полученные теоретическим путём.Приводятся лучшие известные оценки $\xi_n$ cверху для $n\leq 118$

О некоторых задачах для симплекса и шара в Rn

Let $C$ be a convex body and let $S$ be a nondegenerate simplex in ${\mathbb R}^n$. Denote by $\tau S$ the image of $S$ under homothety with a center of homothety in the center of gravity of $S$ and the ratio $\tau$. We mean by $\xi(C;S)$ the minimal \tau>0 such that $C$ is a subset of the simplex $\tau S$. Define $\alpha(C;S)$ as the minimal \tau>0 such that $C$ is contained in a translate of $\tau S$. Earlier the author has proved the equalities $\xi(C;S)=(n+1)\max\limits_{1\leq j\leq n+1}\max\limits_{x\in C}(-\lambda_j(x))+1$  (if $C\not\subset S$), $\alpha(C;S)=\sum\limits_{j=1}^{n+1} \max\limits_{x\in C} (-\lambda_j(x))+1.$Here $\lambda_j$ are the linear functions that are called the basic Lagrange polynomials corresponding to $S$. The numbers $\lambda_j(x),\ldots, \lambda_{n+1}(x)$ are the barycentric coordinates of a point $x\in{\mathbb R}^n$. In his previous papers, the author investigated these formulae in the case when $C$ is the $n$-dimensional unit cube $Q_n=[0,1]^n$. The present paper is related to the case when $C$ coincides with the unit Euclidean ball $B_n=\{x: \|x\|\leq 1\},$ where $\|x\|=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}.$ We establish various relations for $\xi(B_n;S)$ and $\alpha(B_n;S)$, as well as we give their geometric interpretation. For example, if $\lambda_j(x)=l_{1j}x_1+\ldots+l_{nj}x_n+l_{n+1,j},$ then $\alpha(B_n;S)=\sum\limits_{j=1}^{n+1}\left(\sum\limits_{i=1}^n l_{ij}^2\right)^{1/2}$. The minimal possible value of each characteristics $\xi(B_n;S)$ and $\alpha(B_n;S)$ for $S\subset B_n$ is equal to $n$. This value corresponds to a regular simplex inscribed into $B_n$. Also we compare our results with those obtained in the case $C=Q_n$.Пусть $C$ --- выпуклое тело, $S$ невырожденный симплекс в ${\mathbb R}^n$. Через $\tau S$ обозначим образ $S$ при гомотетии относительно центра тяжести $S$ с коэффициентом $\tau$. Под $\xi(C;S)$ понимается минимальное \tau>0, для которого $C$ является подмножеством симплекса $\tau S$. По определению, $\alpha(C;S)$ есть минимальное \tau>0, такое что $C$ принадлежит трансляту симплекса $\tau S$. Ранее автор доказал, что справедливы равенства $\xi(C;S)=(n+1)\max\limits_{1\leq j\leq n+1} \max\limits_{x\in C}(-\lambda_j(x))+1$ (если $C\not\subset S$), $\alpha(C;S)= \sum\limits_{j=1}^{n+1} \max\limits_{x\in C} (-\lambda_j(x))+1.$ Здесь $\lambda_j$ --- линейные функции, называемые базисными многочленами Лагранжа симплекса $S$. Они таковы, что числа $\lambda_j(x),\ldots, \lambda_{n+1}(x)$ являются барицентрическими координатами точки $x\in{\mathbb R}^n$. В предыдущих работах автора указанные формулы исследовались в ситуации, когда $C$ представляет собой $n$-мерный единичный куб $Q_n=[0,1]^n$. В статье рассматривается случай, когда $C$ есть единичный евклидов шар $B_n=\{x: \|x\|\leq 1\},$ где $\|x\|=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}.$ Устанавливаются различные соотношения для $\xi(B_n;S)$ и~$\alpha(B_n;S)$, а также приводится их геометрическая интерпретация. Например, если $\lambda_j(x)= l_{1j}x_1+\ldots+ l_{nj}x_n+l_{n+1,j},$ то $\alpha(B_n;S)= \sum\limits_{j=1}^{n+1}\left(\sum\limits_{i=1}^n l_{ij}^2\right)^{1/2}$. Минимальное возможное значение каждой из величин $\xi(B_n;S)$, $\alpha(B_n;S)$ для $S\subset B_n$ равно $n$ и соответствует правильному симплексу, вписанному в $B_n$. Даётся сравнение с результатами, полученными ранее для $C=Q_n$

Oб оптимальной интерполяции линейными функциями на n-мерном кубе

Let $n\in{\mathbb N}$, and let $Q_n$ be the unit cube $[0,1]^n$. By $C(Q_n)$ we denote the space of continuous functions $f:Q_n\to{\mathbb R}$ with the norm $\|f\|_{C(Q_n)}:=\max\limits_{x\in Q_n}|f(x)|,$ by $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ --- the set of polynomials of $n$ variables of degree $\leq 1$ (or linear functions). Let $x^{(j)},$ $1\leq j\leq n+1,$ be the vertices of $n$-dimnsional nondegenerate simplex $S\subset Q_n$. An interpolation projector $P:C(Q_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$ corresponding to the simplex $S$ is defined by equalities $Pf\left(x^{(j)}\right)= f\left(x^{(j)}\right).$ The norm of $P$ as an operator from $C(Q_n)$ to $C(Q_n)$ may be calculated by the formula $\|P\|=\max\limits_{x\in ver(Q_n)} \sum\limits_{j=1}^{n+1} |\lambda_j(x)|.$ Here $\lambda_j$ are the basic Lagrange polynomials with respect to $S,$ $ver(Q_n)$ is the set of vertices of $Q_n$. Let us denote by $\theta_n$ the minimal possible value of $\|P\|.$ Earlier, the first author proved various relations and estimates for values $\|P\|$ and $\theta_n$, in particular, having geometric character. The equivalence $\theta_n\asymp \sqrt{n}$ takes place. For example, the appropriate, according to dimension $n$, inequalities may be written in the form \linebreak $\frac{1}{4}\sqrt{n}$ <\theta_n <3\sqrt{n}. If the nodes of the projector $P^*$ coincide with vertices of an arbitrary simplex with maximum possible volume, we have $\|P^*\|\asymp\theta_n.$When an Hadamard matrix of order $n+1$ exists, holds $\theta_n\leq\sqrt{n+1}.$ In the paper, we give more precise upper bounds of numbers $\theta_n$ for $21\leq n \leq 26$. These estimates were obtained with the application of maximum volume simplices in the cube. For constructing such simplices, we utilize maximum determinants containing the elements $\pm 1.$ Also, we systematize and comment the best nowaday upper and low estimates of numbers $\theta_n$ for a concrete $n.$Пусть $n\in{\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n$. Через $C(Q_n)$ обозначим пространство непрерывных функций $f:Q_n\to{\mathbb R}$ с нормой $\|f\|_{C(Q_n)}:=\max\limits_{x\in Q_n}|f(x)|,$ через $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ - совокупность многочленов от $n$ переменных степени $\leq 1$ (или линейных функций). Пусть $x^{(j)},$ $1\leq j\leq n+1,$ --- вершины $n$-мерного невырожденного симплекса $S\subset Q_n$. Интерполяционный проектор $P:C(Q_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$, соответствующий симплексу $S$, определяется равенствами $Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right).$Норма $P$ как оператора из $C(Q_n)$ в $C(Q_n)$ может быть вычислена по формуле $\|P\|=\max\limits_{x\in ver(Q_n)} \sum\limits_{j=1}^{n+1} |\lambda_j(x)|.$ Здесь $\lambda_j$ - базисные многочлены Лагранжа, соответствующие $S,$ $ver(Q_n)$ - совокупность вершин $Q_n$. Через $\theta_n$ обозначим минимальную величину $\|P\|.$ Ранее первым автором были доказаны различные соотношения и оценки для величин $\|P\|$ и $\theta_n$, в том числе имеющие геометрический характер.Справедлива эквивалентность $\theta_n\asymp \sqrt{n}.$ Подходящими по размерности $n$ неравенствами являются, например, \frac{1}{4}\sqrt{n}<\theta_n<3\sqrt{n}. Для проектора $P^*$, узлы которого совпадают с вершинами произвольного симплекса максимального объёма в~кубе, выполняется $\|P^*\|\asymp\theta_n.$ Если существует матрица Адамара порядка $n+1$, то $\theta_n\leq\sqrt{n+1}.$ В настоящей статье приводятся уточнённые верхние границы чисел $\theta_n$ для $21\leq n \leq 26$, полученные с применением симплексов максимального объёма в~кубе. Для построения этих симплексов применяются максимальные определители, элементы которых равны $\pm 1.$ Мы также систематизируем и комментируем лучшие на настоящий момент верхние и нижние оценки чисел $\theta_n$ для конкретных \(n.\

On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex

Let  $n\in{\mathbb N}$ and let $Q_n$ be the unit cube $[0,1]^n$. For a nondegenerate simplex $S\subset{\mathbb R}^n$, by $\sigma S$ denote the homothetic copy of $S$ with center of homothety in the center of gravity of $S$ and ratio of homothety $\sigma.$ Put $\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}.$ We call $\xi(S)$  an absorption index of simplex $S$. In the present paper, we give new estimates for the minimal absorption index of the simplex contained in $Q_n$, i.\,e., for the number $\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}.$ In particular, this value and its analogues have applications in estimates for the norms of interpolation projectors. Previously the first author proved some general estimates of $\xi_n$. Always n\leq\xi_n< n+1. If there exists an Hadamard matrix of order $n+1$, then $\xi_n=n$. The best known general upper estimate has the form $\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}$  (n>2). There exists a constant c>0 not depending on $n$ such that, for any simplex $S\subset Q_n$ of maximum volume, inequalities $c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S)$ take place. It motivates the use of maximum volume simplices in upper estimates of $\xi_n$. The set of vertices of such a simplex can be consructed with  application of maximum $0/1$-determinant of order $n$ or maximum $-1/1$-determinant of order $n+1$. In the paper, we compute absorption indices of maximum volume simplices in $Q_n$ constructed from known maximum $-1/1$-determinants via a special procedure. For some $n$, this approach makes it possible to lower theoretical upper bounds  of $\xi_n$. Also we give best known upper estimates of $\xi_n$ for \(n\leq 118\

Matrices having the largest known determinant in machine-readable form

The data set contains matrices having maximal known determinant of various orders (up to 119). Data taken from the site http://www.indiana.edu/~maxdet/ In our dataset, matrices are presented in machine-readable form, convenient for use in programs. We used these data in the preparation of articles 1) Nevskii, M.V. & Ukhalov, A.Y. On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex. Automatic Control and Computer Sciences. 2018. Volume 52, Issue 7, pp 680–687. https://doi.org/10.3103/S0146411618070209 In Russian: Nevskii M.V., Ukhalov A.Y. On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018. Volume 25, No 1, pp. 140-150. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-140-150 2) Nevskii, M.V. & Ukhalov, A.Y. On Optimal Interpolation by Linear Functions on n-Dimensional Cube. Automatic Control and Computer Sciences. 2018. Volume 52, Issue 7, pp 828–842. https://doi.org/10.3103/S0146411618070283 In Russian: Nevskii M.V., Ukhalov A.Y. On Optimal Interpolation by Linear Functions on an n-Dimensional Cube. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018. Volume 25, No 3, pp. 291-311. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-291-311 3) Nevskii, M. and Ukhalov, A. Properties of (0, 1)-matrices of order n having maximal determinant. Mathematical notes of NEFU. 2019. Volume 26, No 2, pp. 109-115. https://doi.org/10.25587/SVFU.2019.102.31516 Definitions, basic facts and formulas can be found in the listed works. See also the bibliography in these articles. We also present some programs in the Wolfram Language that were used in the above researches. Each file is presented in three formats: Wolfram Mathematica Notebook, PDF, and Plain Text. Files: 1) Matrices_Plus_Minus_One_MaxDet - matrices of various order 2) Hadamard_24 - sixty Hadamard matrices of order 24 3) Calculating_Procedures - some functions for processing matrices 4) Tests - examples of using functions and calculations with dat

Matrices having the largest known determinant in machine-readable form

The data set contains matrices having maximal known determinant of various orders (up to 119). Data taken from the site http://www.indiana.edu/~maxdet/ In our dataset, matrices are presented in machine-readable form, convenient for use in programs. We used these data in the preparation of articles 1) Nevskii, M.V. & Ukhalov, A.Y. On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex. Automatic Control and Computer Sciences. 2018. Volume 52, Issue 7, pp 680–687. https://doi.org/10.3103/S0146411618070209 In Russian: Nevskii M.V., Ukhalov A.Y. On Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplex. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018. Volume 25, No 1, pp. 140-150. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-140-150 2) Nevskii, M.V. & Ukhalov, A.Y. On Optimal Interpolation by Linear Functions on n-Dimensional Cube. Automatic Control and Computer Sciences. 2018. Volume 52, Issue 7, pp 828–842. https://doi.org/10.3103/S0146411618070283 In Russian: Nevskii M.V., Ukhalov A.Y. On Optimal Interpolation by Linear Functions on an n-Dimensional Cube. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018. Volume 25, No 3, pp. 291-311. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-291-311 3) Nevskii, M. and Ukhalov, A. Properties of (0, 1)-matrices of order n having maximal determinant. Mathematical notes of NEFU. 2019. Volume 26, No 2, pp. 109-115. https://doi.org/10.25587/SVFU.2019.102.31516 Definitions, basic facts and formulas can be found in the listed works. See also the bibliography in these articles. We also present some programs in the Wolfram Language that were used in the above researches. Each file is presented in three formats: Wolfram Mathematica Notebook, PDF, and Plain Text. Files: 1) Matrices_Plus_Minus_One_MaxDet - matrices of various order 2) Hadamard_24 - sixty Hadamard matrices of order 24 3) Calculating_Procedures - some functions for processing matrices 4) Tests - examples of using functions and calculations with dat