Adaptive high-order splitting schemes for large-scale differential Riccati equations

We consider high-order splitting schemes for large-scale differential Riccati equations. Such equations arise in many different areas and are especially important within the field of optimal control. In the large-scale case, it is critical to employ structural properties of the matrix-valued solution, or the computational cost and storage requirements become infeasible. Our main contribution is therefore to formulate these high-order splitting schemes in a efficient way by utilizing a low-rank factorization. Previous results indicated that this was impossible for methods of order higher than 2, but our new approach overcomes these difficulties. In addition, we demonstrate that the proposed methods contain natural embedded error estimates. These may be used e.g. for time step adaptivity, and our numerical experiments in this direction show promising results.Comment: 23 pages, 7 figure

Multiscale differential Riccati equations for linear quadratic regulator problems

We consider approximations to the solutions of differential Riccati equations in the context of linear quadratic regulator problems, where the state equation is governed by a multiscale operator. Similarly to elliptic and parabolic problems, standard finite element discretizations perform poorly in this setting unless the grid resolves the fine-scale features of the problem. This results in unfeasible amounts of computation and high memory requirements. In this paper, we demonstrate how the localized orthogonal decomposition method may be used to acquire accurate results also for coarse discretizations, at the low cost of solving a series of small, localized elliptic problems. We prove second-order convergence (except for a logarithmic factor) in the $L^2$ operator norm, and first-order convergence in the corresponding energy norm. These results are both independent of the multiscale variations in the state equation. In addition, we provide a detailed derivation of the fully discrete matrix-valued equations, and show how they can be handled in a low-rank setting for large-scale computations. In connection to this, we also show how to efficiently compute the relevant operator-norm errors. Finally, our theoretical results are validated by several numerical experiments.Comment: Accepted for publication in SIAM J. Sci. Comput. This version differs from the previous one only by the addition of Remark 7.2 and minor changes in formatting. 21 pages, 12 figure

Entwicklung von Methoden zum Entwurf einer robusten Anti-Rupf-Regelung am Beispiel von Fahrzeugen mit trocken laufender Doppelkupplung

Die vorliegende Forschungsarbeit befasst sich mit der Entwicklung einer robusten Regelung zur aktiven Dämpfung von Antriebsstrangschwingungen in der Schlupfphase der Kupplung zur Verbesserung des Fahrkomforts speziell für Antriebsstränge mit trocken laufender Doppelkupplung. Ziel ist insbesondere die Entwicklung zielführender und effizienter Methoden, die die Entwicklung geeigneter Schwingungsdämpfungskonzepte durch aktive Momentenmodulation unterstützen. Die behandelte Problemstellung resultiert aus den wachsenden Anforderungen an Emissionsreduktion, dem damit einhergehenden Bestreben nach Verringerung der systeminhärenten Dämpfung und Verstärkter Anwendung von Leichtbaumethoden im Antriebsstrang bei gleichzeitiger Optimierung des Fahrkomforts speziell von Doppelkupplungsgetrieben. Dieser Zielkonflikt der Entwicklung von Antriebsstrangkomponenten soll durch geeignete hard- oder softwarebasierte Ansätze zur Schwingungsdämpfung nach Möglichkeit aufgelöst werden. Bisherige Ansätze zu einer solchen Lösung sind im Hinblick auf rein mechanische Lösungen entweder nicht ausreichend effektiv oder zu komplex, wogegen die effizienteren softwarebasierten Lösungen oft störanfällig, in ihrer Wirkung limitiert oder nicht in ausreichender Breite erprobt sind. Somit ergibt sich für die vorliegende wissenschaftliche Arbeit als Ziel, ein regelungstechnisches Konzept zur effizienten und insbesondere robusten Dämpfung zu finden, welches sich ebenfalls in die bestehende Getriebesteuerungssoftware integrieren lässt. Darüber hinaus werden Methoden zur Validierung dieses software-basierten Ansatzes besonders im Hinblick auf die unsicheren Systemeigenschaften generiert. Dabei stützt sich die Arbeit auf die Anwendung einer Methode zur effizienten Systemidentifikation durch Verwendung von pseudozufälligen Signalen in Simulation und Fahrzeug, einer damit entwickelten detaillierten Systemmodellierung und -simulation sowie einer so entwickelten integrierten Validierungsmethode die durch realitätsnahe Reproduktion der Phänomene eine zielgerichtete Entwicklungsarbeit ermöglicht. Mithilfe dieser Methoden wird einer aus mehreren betrachteten Ansätzen zur robusten Regelung ausgewählter Ansatz zur H-Infinity-Regelung im Zeitbereich unter Verwendung von integralen quadratischen Zwangsbedingungen (IQC) sowie der s-Prozedur entwickelt und geprüft. Damit stellt diese Arbeit den ersten Ansatz zum Entwurf einer in diesem Sinne robusten Anti-Rupf-Regelung sowie die erste bekannte praktische Anwendung des gewählten regelungstechnischen Ansatzes dar. Weitere Ergebnisse sind eine detaillierte Systembetrachtung in Form eines Zustandsraum- und Simulationsmodells sowie eine in diesem Anwendungsbereich neue Methode zur Systemidentifikation