Analysis of a mathematical model arising in plant disease epidemiology

Financiado para publicación en acceso aberto: Universidade de Vigo/CISUGIn this work we study from the mathematical and numerical point of view a problem arising in vector-borne plant diseases. The model is written as a nonlinear system composed of a parabolic partial differential equation for the vector abundance function and a first-order ordinary differential equation for the plant health function. An existence and uniqueness result is proved using backward finite differences, uniform estimates and passing to the limit. The regularity of the solution is also obtained. Then, using the finite element method and the implicit Euler scheme, fully discrete approximations are introduced. A discrete stability property and a main a priori error estimates result are proved using a discrete version of Gronwall’s lemma and some estimates on the different approaches. Finally, some numerical results, in one and two dimensions, are presented to demonstrate the accuracy of the approximation and the behaviour of the solution.Agencia Estatal de Investigación | Ref. PGC2018-096696-B-I0

On fuzzy variational calculus and fuzzy optimal control with applications

Orientador: Rodney Carlos BassaneziTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: A busca de soluções ideais para controles tem sido muito frequente em aplicações ligadas à Biomatemática, como por exemplo o controle de pragas e epidemias. Com o intuito de tratar questões teóricas e no campo das aplicações, esta tese aborda a questão da subjetividade, desenvolvendo teoria de cálculo variacional e controle ótimo com condição inicial fuzzy e condição final livre e propõe soluções numéricas para o problema de controle ótimo de pragas na lavoura, abordando tanto o caso onde não temos essa subjetividade, quanto no caso em que temos. Através de uma relação de ordem parcial, e seguindo a mesma linha do que foi feito em (Diniz (2016)), definimos uma aplicação que associa cada condição inicial a solução do problema clássico e, feita as devidas considerações mostramos que a extensão de Zadeh dessa aplicação é a solução ótima, tanto para o problema de cálculo variacional, quanto para o problema de controle ótimo com condição inicial fuzzy e condição final livre. Para o problema de controle ótimo de pragas na lavoura da soja, modelamos o problema, considerando o uso de controle químico (inseticidas), biológico (inserção de inimigos naturais) e integrado (junção de ambos controles). Consideramos o caso onde a aplicação do controle é contínua no tempo, para isso usamos as condições de otimalidade (Princípio do Mínimo de Pontryagin) e propomos uma solução numérica para cada caso. Abordamos também, problemas de controle de pragas na lavoura quando não se tem informações precisas de seu estágio inicial. O modelo matemático utilizado contou com o auxílio da teoria fuzzy para suprir a exatidão das condições iniciais e da meta a ser atingida. Por fim, estudamos o problema de controle ótimo impulsivo de pragas considerando a aplicação do controle discreto, com uma dinâmica contínua entre os intervalos de aplicação. Utilizamos uma heurística computacional (Algoritmos genéticos) para resolver esse tipo de problemaAbstract: The search for optimal solutions for controls has been frequent in applications related to Biomathematics, such as pest and epidemic control. In order to address theoretical questions and applications, this thesis deals with the subjectivity issue, developing variational calculation theory and optimal control with fuzzy initial condition and free final condition, and proposes numerical solutions to the problem of optimal pest control in the field. both the case where we do not have this subjectivity, as in the case in which we have. Through a partial order relation, and following the same line as in (Diniz (2016)), we define an application that associates each initial condition with the solution of the classical problem and, with due consideration, we show that Zadeh¿s extension of this application is the optimal solution, both for the variational calculation problem, and for the optimal control problem with fuzzy initial condition and free final condition. For the problem of optimal pest control in soybeans, we model the problem, considering the use of chemical (insecticides), biological (insertion of natural enemies) and integrated (junction of both controls) control. We consider the case where the application of the control is continuous in time, for this we use the optimality conditions (Pontryagin¿s minimum principle) and propose a numerical solution for each case. We also address pest control problems when no accurate information of its initial stage is provided. The mathematical model made use of the fuzzy theory to supply the accuracy of the initial conditions and the target to be reached. Finally, we studied the problem of optimal control of pest infestation considering application of discrete control, with a continuous dynamics between the application intervals. We use a computational heuristic (Genetic Algorithms) to solve this type of problemDoutoradoMatematica AplicadaDoutor em Matemática Aplicada164525/2015-7CAPESCNP