Shirayanagi-Sweedler algebraic algorithm stabilization and polynomial GCD algorithms

Thesis (M. Eng.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Electrical Engineering and Computer Science, 2007.Includes bibliographical references (p. 71-72).Shirayanagi and Sweedler [12] proved that a large class of algorithms on the reals can be modified slightly so that they also work correctly on floating-point numbers. Their main theorem states that, for each input, there exists a precision, called the minimum converging precision (MCP), at and beyond which the modified "stabilized" algorithm follows the same sequence of steps as the original "exact" algorithm. In this thesis, we study the MCP of two algorithms for finding the greatest common divisor of two univariate polynomials with real coefficients: the Euclidean algorithm, and an algorithm based on QR-factorization. We show that, if the coefficients of the input polynomials are allowed to be any computable numbers, then the MCPs of the two algorithms are not computable, implying that there are no "simple" bounding functions for the MCP of all pairs of real polynomials. For the Euclidean algorithm, we derive upper bounds on the MCP for pairs of polynomials whose coefficients are members of Z, 0, Z[6], and Q[6] where ( is a real algebraic integer. The bounds are quadratic in the degrees of the input polynomials or worse. For the QR-factorization algorithm, we derive a bound on the minimal precision at and beyond which the stabilized algorithm gives a polynomial with the same degree as that of the exact GCD, and another bound on the the minimal precision at and beyond which the algorithm gives a polynomial with the same support as that of the exact GCD. The bounds are linear in (1) the degree of the polynomial and (2) the sum of the logarithm of diagonal entries of matrix R in the QR factorization of the Sylvester matrix of the input polynomials.by Pramook Khungurn.M.Eng

Design and Synthesis of Efficient Circuits for Quantum Computers

Οι πρόσφατες εξελίξεις στον τομέα της πειραματικής κατασκευής κβαντικών υπολογιστών με εξαρτήματα αυξημένης αξιοπιστίας δείχνει ότι η κατασκευή τέτοιων μεγάλων μηχανών βασισμένων στις αρχές της κβαντικής φυσικής είναι πιθανή στο κοντινό μέλλον. Καθώς το μέγεθος των μελλοντικών κβαντικών υπολογιστών θα αυξάνεται, η σχεδίαση αποδοτικότερων κβαντικών κυκλωμάτων και μεθόδων σχεδίασης θα αποκτήσει σταδιακά πρακτικό ενδιαφέρον. Η συνεισφορά της διατριβής στην κατεύθυνση της σχεδίασης αποδοτικών κβαντικών κυκλωμάτων είναι διττή: Η πρώτη είναι η σχεδίαση καινοτόμων αποδοτικών αριθμητικών κβαντικών κυκλωμάτων βασισμένων στον Κβαντικό Μετασχηματισμό Fourier (QFT), όπως πολλαπλασιαστής-με-σταθερά-συσσωρευτής (MAC) και διαιρέτης με σταθερά, με γραμμικό βάθος (ή ταχύτητα) ως προς τον αριθμό ψηφίων των ακεραίων. Αυτά τα κυκλώματα συνδυάζονται αποτελεσματικά ώστε να επιτελέσουν την πράξη του modulo πολλαπλασιασμού με σταθερά με γραμμική πολυπλοκότητα χρόνου και χώρου και συνεπώς μπορούν να επιτελέσουν την πράξη της modulo εκθετικοποίησης (modular exponentiation) με τετραγωνική πολυπλοκότητα χρόνου και γραμμική πολυπλοκότητα χώρου. Οι πράξεις της modulo εκθετικοποίησης και του modulo πολλαπλασιασμού είναι αναπόσπαστα μέρη του σημαντικού κβαντικού αλγορίθμου παραγοντοποίησης του Shor, αλλά και άλλων κβαντικών αλγορίθμων της ίδιας οικογένειας, γνωστών ως κβαντική εκτίμηση φάσης (Quantum Phase Estimation). Αντιμετωπίζονται με αποτελεσματικό τρόπο σημαντικά προβλήματα υλοποίησης, που σχετίζονται με την απαίτηση χρήσης κβαντικών πυλών περιστροφής υψηλής ακρίβειας, καθώς και της χρήσης τοπικών επικοινωνιών. Η δεύτερη συνεισφορά της διατριβής είναι μία γενική μεθοδολογία ιεραρχικής σύνθεσης κβαντικών και αντιστρέψιμων κυκλωμάτων αυθαίρετης πολυπλοκότητας και μεγέθους. Η ιεραρχική μέθοδος σύνθεσης χειρίζεται καλύτερα μεγάλα κυκλώματα σε σχέση με τις επίπεδες μεθόδους σύνθεσης. Η προτεινόμενη μέθοδος προσφέρει πλεονεκτήματα σε σχέση με τις συνήθεις ιεραρχικές συνθέσεις που χρησιμοποιούν την μέθοδο "υπολογισμός-αντιγραφή-αντίστροφος υπολογισμός" του Bennett.The recent advances in the field of experimental construction of quantum computers with increased fidelity components shows that large-scale machines based on the principles of quantum physics are likely to be realized in the near future. As the size of the future quantum computers will be increased, efficient quantum circuits and design methods will gradually gain practical interest. The contribution of this thesis towards the design of efficient quantum circuits is two-fold. The first is the design of novel efficient quantum arithmetic circuits based on the Quantum Fourier Transform (QFT), like multiplier-with-constant-and-accumulator (MAC) and divider by constant, both of linear depth (or speed) with respect with the bits number of the integer operands. These circuits are effectively combined so as they can perform modular multiplication by constant in linear depth and space and consequently modular exponentiation in quadratic time and linear space. Modular exponentiation and modular multiplication operations are integral parts of the important quantum factorization algorithm of Shor and other quantum algorithms of the same family, known as Quantum Phase Estimation algorithms. Important implementation problems like the required high accuracy of the employed rotation quantum gates and the local communications between the gates are effectively addressed. The second contribution of this thesis is a generic hierarchical synthesis methodology for arbitrary complex and large quantum and reversible circuits. The methodology can handle more easily larger circuits relative to the flat synthesis methods. The proposed method offers advantages over the standard hierarchical synthesis which uses Bennett's method of "compute-copy-uncompute"