Efficient Quantum Transforms

Quantum mechanics requires the operation of quantum computers to be unitary, and thus makes it important to have general techniques for developing fast quantum algorithms for computing unitary transforms. A quantum routine for computing a generalized Kronecker product is given. Applications include re-development of the networks for computing the Walsh-Hadamard and the quantum Fourier transform. New networks for two wavelet transforms are given. Quantum computation of Fourier transforms for non-Abelian groups is defined. A slightly relaxed definition is shown to simplify the analysis and the networks that computes the transforms. Efficient networks for computing such transforms for a class of metacyclic groups are introduced. A novel network for computing a Fourier transform for a group used in quantum error-correction is also given.Comment: 30 pages, LaTeX2e, 7 figures include

Essential idempotents and simplex codes

We define essential idempotents in group algebras and use them to prove that every mininmal abelian non-cyclic code is a repetition code. Also we use them to prove that every minimal abelian code is equivalent to a minimal cyclic code of the same length. Finally, we show that a binary cyclic code is simplex if and only if is of length of the form $n=2^k-1$ and is generated by an essential idempotent

Структура конечной групповой алгебры одного полупрямого произведения абелевых групп и её приложения

In 1978 R. McEliece developed the first assymetric cryptosystem based on the use of Goppa's error-correctring codes and no effective key attacks has been described yet. Now there are many code-based cryptosystems known. One way to build them is to modify the McEliece cryptosystem by replacing Goppa's codes with other codes. But many variants of this modification were proven to be less secure.In connection with the development of quantum computing code cryptosystems along with lattice-based cryptosystems are considered as an alternative to number-theoretical ones. Therefore, it is relevant to find promising classes of codes that are applicable in cryptography. It seems that for this non-commutative group codes, i.e. left ideals in finite non-commutative group algebras, could be used.The Wedderburn theorem is useful to study non-commutative group codes. It implies the existence of an isomorphism of a semisimple group algebra onto a direct sum of matrix algebras. However, the specific form of the summands and the isomorphism construction are not explicitly defined by this theorem. Hence for each semisimple group algebra there is a task to explicitly construct its Wedderburn decomposition. This decomposition allows us to easily describe all left ideals of group algebra, i.e. group codes.In this paper we consider one semidirect product $$Q_{m,n} = (\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) \leftthreetimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$$ of abelian groups and the group algebra $$\mathbb{F}_q Q_{m,n}$$. In the case when $$n \mid q -1$$ and $$\gcd(2mn, q) = 1,$$ the Wedderburn decomposition of this algebra is constructed. In the case when field is of characteristic $$2,$$ i.e. when this group algebra is not semisimple, a similar structure theorem is also obtained. Further in the paper, the primitive central idempotents of this group algebra are described. The obtained results are used to algebraically describe the group codes over $$Q_{m,n}.$$В 1978 году Р. Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом эффективные атаки на секретный ключ этой криптосистемы до сих пор не найдены. К настоящему времени известно много криптосистем, основанных на теории помехоустойчивого кодирования. Одним из способов построения таких криптосистем является модификация криптосистемы Мак-Элиса с помощью замены кодов Гоппы на другие классы кодов. Однако, известно что криптографическая стойкость многих таких модификаций уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса. В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы, наряду с криптосистемамми на решётках, рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым. Поэтому актуальна задача поиска перспективных классов кодов, применимых в криптографии. Представляется, что для этого можно использовать некоммутативные групповые коды, т.е. левые идеалы в конечных некоммутативных групповых алгебрах.Для исследования некоммутативных групповых кодов полезной является теорема Веддерберна, доказывающая существование изоморфизма групповой алгебры на прямую сумму матричных алгебр. Однако конкретный вид слагаемых и конструкция изоморфизма этой теоремой не определены, и поэтому для каждой группы стоит задача конструктивного описания разложения Веддерберна. Это разложение позволяет легко получить все левые идеалы групповой алгебры, т.е. групповые коды. В работе рассматривается полупрямое произведение $$Q_{m,n} = (\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) \leftthreetimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$$ абелевых групп и конечная групповая алгебра $$\mathbb{F}_q Q_{m,n}$$ этой группы. Для этой алгебры при условиях $$n \mid q -1$$ и $$\text{НОД}(2mn, q) = 1$$ построено разложение Веддербёрна. В случае поля чётной характеристики, когда эта групповая алгебра не является полупростой, также получена сходная структурная теорема. Описаны все неразложимые центральные идемпотенты этой групповой алгебры. Полученные результаты используются для алгебраического описания всех групповых кодов над $$Q_{m,n}.$

Group algebras and coding theory: a short survey

We study codes constructed from ideals in group algebras and we are particularly interested in their dimensions and weights. First we introduced a special kind of idempotents and study the ideals they generate. We use this information to show that there exist abelian non-cyclic groups that give codes which are more convenient than the cyclic ones. Finally, we discuss briefly some facts about non-abelian codes