On the Smallest Eigenvalue of Grounded Laplacian Matrices

We provide upper and lower bounds on the smallest eigenvalue of grounded Laplacian matrices (which are matrices obtained by removing certain rows and columns of the Laplacian matrix of a given graph). The gap between the upper and lower bounds depends on the ratio of the smallest and largest components of the eigenvector corresponding to the smallest eigenvalue of the grounded Laplacian. We provide a graph-theoretic bound on this ratio, and subsequently obtain a tight characterization of the smallest eigenvalue for certain classes of graphs. Specifically, for Erdos-Renyi random graphs, we show that when a (sufficiently small) set $S$ of rows and columns is removed from the Laplacian, and the probability $p$ of adding an edge is sufficiently large, the smallest eigenvalue of the grounded Laplacian asymptotically almost surely approaches $|S|p$. We also show that for random $d$-regular graphs with a single row and column removed, the smallest eigenvalue is $\Theta(\frac{d}{n})$. Our bounds have applications to the study of the convergence rate in continuous-time and discrete-time consensus dynamics with stubborn or leader nodes

Computational Methods for Cognitive and Cooperative Robotics

In the last decades design methods in control engineering made substantial progress in the areas of robotics and computer animation. Nowadays these methods incorporate the newest developments in machine learning and artificial intelligence. But the problems of flexible and online-adaptive combinations of motor behaviors remain challenging for human-like animations and for humanoid robotics. In this context, biologically-motivated methods for the analysis and re-synthesis of human motor programs provide new insights in and models for the anticipatory motion synthesis. This thesis presents the author’s achievements in the areas of cognitive and developmental robotics, cooperative and humanoid robotics and intelligent and machine learning methods in computer graphics. The first part of the thesis in the chapter “Goal-directed Imitation for Robots” considers imitation learning in cognitive and developmental robotics. The work presented here details the author’s progress in the development of hierarchical motion recognition and planning inspired by recent discoveries of the functions of mirror-neuron cortical circuits in primates. The overall architecture is capable of ‘learning for imitation’ and ‘learning by imitation’. The complete system includes a low-level real-time capable path planning subsystem for obstacle avoidance during arm reaching. The learning-based path planning subsystem is universal for all types of anthropomorphic robot arms, and is capable of knowledge transfer at the level of individual motor acts. Next, the problems of learning and synthesis of motor synergies, the spatial and spatio-temporal combinations of motor features in sequential multi-action behavior, and the problems of task-related action transitions are considered in the second part of the thesis “Kinematic Motion Synthesis for Computer Graphics and Robotics”. In this part, a new approach of modeling complex full-body human actions by mixtures of time-shift invariant motor primitives in presented. The online-capable full-body motion generation architecture based on dynamic movement primitives driving the time-shift invariant motor synergies was implemented as an online-reactive adaptive motion synthesis for computer graphics and robotics applications. The last chapter of the thesis entitled “Contraction Theory and Self-organized Scenarios in Computer Graphics and Robotics” is dedicated to optimal control strategies in multi-agent scenarios of large crowds of agents expressing highly nonlinear behaviors. This last part presents new mathematical tools for stability analysis and synthesis of multi-agent cooperative scenarios.In den letzten Jahrzehnten hat die Forschung in den Bereichen der Steuerung und Regelung komplexer Systeme erhebliche Fortschritte gemacht, insbesondere in den Bereichen Robotik und Computeranimation. Die Entwicklung solcher Systeme verwendet heutzutage neueste Methoden und Entwicklungen im Bereich des maschinellen Lernens und der künstlichen Intelligenz. Die flexible und echtzeitfähige Kombination von motorischen Verhaltensweisen ist eine wesentliche Herausforderung für die Generierung menschenähnlicher Animationen und in der humanoiden Robotik. In diesem Zusammenhang liefern biologisch motivierte Methoden zur Analyse und Resynthese menschlicher motorischer Programme neue Erkenntnisse und Modelle für die antizipatorische Bewegungssynthese. Diese Dissertation präsentiert die Ergebnisse der Arbeiten des Autors im Gebiet der kognitiven und Entwicklungsrobotik, kooperativer und humanoider Robotersysteme sowie intelligenter und maschineller Lernmethoden in der Computergrafik. Der erste Teil der Dissertation im Kapitel “Zielgerichtete Nachahmung für Roboter” behandelt das Imitationslernen in der kognitiven und Entwicklungsrobotik. Die vorgestellten Arbeiten beschreiben neue Methoden für die hierarchische Bewegungserkennung und -planung, die durch Erkenntnisse zur Funktion der kortikalen Spiegelneuronen-Schaltkreise bei Primaten inspiriert wurden. Die entwickelte Architektur ist in der Lage, ‘durch Imitation zu lernen’ und ‘zu lernen zu imitieren’. Das komplette entwickelte System enthält ein echtzeitfähiges Pfadplanungssubsystem zur Hindernisvermeidung während der Durchführung von Armbewegungen. Das lernbasierte Pfadplanungssubsystem ist universell und für alle Arten von anthropomorphen Roboterarmen in der Lage, Wissen auf der Ebene einzelner motorischer Handlungen zu übertragen. Im zweiten Teil der Arbeit “Kinematische Bewegungssynthese für Computergrafik und Robotik” werden die Probleme des Lernens und der Synthese motorischer Synergien, d.h. von räumlichen und räumlich-zeitlichen Kombinationen motorischer Bewegungselemente bei Bewegungssequenzen und bei aufgabenbezogenen Handlungs übergängen behandelt. Es wird ein neuer Ansatz zur Modellierung komplexer menschlicher Ganzkörperaktionen durch Mischungen von zeitverschiebungsinvarianten Motorprimitiven vorgestellt. Zudem wurde ein online-fähiger Synthesealgorithmus für Ganzköperbewegungen entwickelt, der auf dynamischen Bewegungsprimitiven basiert, die wiederum auf der Basis der gelernten verschiebungsinvarianten Primitive konstruiert werden. Dieser Algorithmus wurde für verschiedene Probleme der Bewegungssynthese für die Computergrafik- und Roboteranwendungen implementiert. Das letzte Kapitel der Dissertation mit dem Titel “Kontraktionstheorie und selbstorganisierte Szenarien in der Computergrafik und Robotik” widmet sich optimalen Kontrollstrategien in Multi-Agenten-Szenarien, wobei die Agenten durch eine hochgradig nichtlineare Kinematik gekennzeichnet sind. Dieser letzte Teil präsentiert neue mathematische Werkzeuge für die Stabilitätsanalyse und Synthese von kooperativen Multi-Agenten-Szenarien

On Spectral Properties of the Grounded Laplacian Matrix

Linear consensus and opinion dynamics in networks that contain stubborn agents are studied in this thesis. Previous works have shown that the convergence rate of such dynam- ics is given by the smallest eigenvalue of the grounded Laplacian induced by the stubborn agents. Building on those works, we study the smallest eigenvalue of grounded Laplacian matrices, and provide bounds on this eigenvalue in terms of the number of edges between the grounded nodes and the rest of the network, bottlenecks in the network, and the small- est component of the eigenvector for the smallest eigenvalue. We show that these bounds are tight when the smallest eigenvector component is close to the largest component, and provide graph-theoretic conditions that cause the smallest component to converge to the largest component. An outcome of our analysis is a tight bound for Erdos-Renyi random graphs and d-regular random graphs. Moreover, we de ne a new notion of centrality for each node in the network based upon the smallest eigenvalue obtained by removing that node from the network. We show that this centrality can deviate from other well known centralities. Finally we interpret this centrality via the notion of absorption time in a random walk on the graph