A Complete Solver for Constraint Games

Game Theory studies situations in which multiple agents having conflicting objectives have to reach a collective decision. The question of a compact representation language for agents utility function is of crucial importance since the classical representation of a $n$-players game is given by a $n$-dimensional matrix of exponential size for each player. In this paper we use the framework of Constraint Games in which CSP are used to represent utilities. Constraint Programming --including global constraints-- allows to easily give a compact and elegant model to many useful games. Constraint Games come in two flavors: Constraint Satisfaction Games and Constraint Optimization Games, the first one using satisfaction to define boolean utilities. In addition to multimatrix games, it is also possible to model more complex games where hard constraints forbid certain situations. In this paper we study complete search techniques and show that our solver using the compact representation of Constraint Games is faster than the classical game solver Gambit by one to two orders of magnitude.Comment: 17 page

Stochastic Bilevel Pricing Problems over a Transportation Network

RÉSUMÉ : Dans cette thèse, nous étudions le problème de tarification sur un réseau sous des hypothèses d'incertitude (stochastiques). Elle comporte cinq chapitres. Les premier et deuxième chapitres sont une introduction générale et une introduction à la programmation biniveau, au modèle biniveau pour la tarification sur un réseau et à la programmation stochastique, respectivement. Mes deux articles soumis sont contenus dans les chapitres 3 et 4 et nous concluons cette thèse par le chapitre 5. Dans le chapitre 3, nous considérons une extension stochastique à deux étapes du modèle de tarification biniveau introduit par Labbée et al. (1998). Dans la première étape, le meneur (leader), au niveau supérieur, fixe les tarifs sur un sous-ensemble d'arcs du réseau dans le but de maximiser son revenu, tandis qu'au niveau inférieur, les flots sont affectés aux chemins les moins onéreux du réseau de transport multiflots. Dans la deuxième étape, on introduit une incertitude sur la demande et les coûts (qui deviennent stochastiques) et ajoutons la contrainte que les nouveaux tarifs ne doivent pas être trop éloignés de ceux obtenus à la première étape. Nous considérons deux types de tolérances, une absolue et l'autre proportionnelle pour chaque arc tarifé du réseau, afin d'éviter le problème de tarifs excessifs. Nous reformulons notre modèle biniveau stochastique à deux étapes en un problème biniveau stochastique à une étape (standard) afin de déterminer une borne supérieure valide du revenu. Ceci nous a permis de mettre en évidence certaines propriétés de la fonction objectif tel que son caractère continu et linéaire par morceaux, dans le cas de la tolérance absolue. Nous appliquons notre approche à trois petits exemples de réseaux de transport aériens ayant des topologies, des commodités et des scénarios différents. Nous comparons la validité de notre modèle en comparant la solution stochastique obtenue en remplaçant les terms aléatoires par leur espérance. Enfin, nous présentons des résultats numériques pour des instances générées aléatoirement, sur du réseaux à 40 nœuds et 200 arcs, pour diverses formulations du modèle. L'analyse des résultats numériques montre que le modèle qui suppose des tarifs égaux sur les deux étapes est plus complexe en raison de la limitation sévère sur les tarifs. Par ailleurs, le modèle où la demande est la seule variable aléatoire est moins complexe à puisque, plus court chemin du suiveur est le même dans les deux phases (étapes). Au chapitre 4, nous présentons trois variantes du problème de tarification biniveau stochastique en définissant le temps de déplacement, la fiabilité du chemin et la capacité des lienes comme des variables aléatoires. Dans la première variante, nous introduisons des désutilités stochastiques au niveau du meneur. Ces dernières sont modélisées comme fonction des coûts fixes, des tarifs, des délais et de la fiabilité. Les deux dernières désutilités (délai et fiabilité) représentent la situation où les meneurs sont prêts à compromettre leur temps d'arrivée cible (deadline) pour une plus grande fiabilité. Pour ce faire, les termes de désutilité sont exprimés par des quotients du délai sur la fiabilité, où et le numérateur le dénominateur sont aléatoires. Le modèle considère l'espérance mathématique de la fonction objectif du leader et un comportement ``wait and see'' (attente - action) pour le suiveur. Un exemple illustre l'application du modèle à des réseaux de télécommunications ou des compagnies aériennes. Nous effectuons également une analyse de sensibilité à l'égard des variations des pénalités sur les délais et les dates limites (deadline) de différents ensembles de coûts fixes. Dans la deuxième variante, on considère un modèle qui prend en compte plusieurs caractéristiques de la première variante avec deux différences majeures: (1) une pénalité sur le délai est encourue par le leader et (2) la fiabilité d'un arc est maintenant fonction du flot qui le traverse, ainsi que et d'une capacité aléatoire. Une contrainte probabiliste, dont le rôle est d'éviter le débordement et d'assurer le fonctionnement fiable du système, est alors imposée au leader. Dans ce contexte, le choix du trajet du suiveur n'est pas influencé par la fiabilité des trajets car la contrainte imposée au niveau supérieur assure un niveau de service adéquat. Nous reformulons le modèle comme un problème de programmation linéaire mixte en nombres entiers, en transformant les contraintes probabilistes en contraintes linéaires. Nous montrons alors que la fonction du revenu est continu par rapport au vecteur de capacité. Nous illustrons l'application du modèle à un réseau de transport et nous montrons comment les changements dans le seuil de probabilité et le paramètre de proportion de la capacité de conception affectent le revenu. Enfin, la troisième variante considère la congestion, ce qui est un problème fréquent dans les transports urbains (résultant de conditions météorologiques, de travaux, de demande excédentaire) et dans les télécommunications (résultant du trafic et de la dégradation du réseau). En général la congestion est directement liée à la qualité de service. Contrairement à la deuxième variante où la qualité de service est imposée à l'aide d'une contrainte probabiliste, la troisième variante modélise explicitement la congestion par une fonction volume-délai du type BPR (Bureau of Public Roads). Nous présentons un exemple et une analyse de sensibilité du revenu en fonction des changements des paramètres de proportion de la capacité de conception et du seuil de probabilité.----------ABSTRACT : This dissertation studies the network ricing problem (NPP) under uncertainty assumptions. It has five chapters. The first and second chapters give a general introduction to this thesis and the second chapter provides an introduction to bilevel programming (BP), the BP model of NPP, and stochastic programming. Chapters 3 and 4 contain my two submitted papers and we conclude this thesis in Chapter 5. In Chapter 3, we consider a two-stage stochastic extension of the bilevel pricing model introduced by Labbée et al. (1998). In the first stage, the leader sets tariffs on a subset of arcs of a transportation network with the goal of maximizing profits, and at the lower level, flows are assigned to the cheapest paths of a multicommodity transportation network. In the second stage, we introduce uncertain information (stochastic demand and market prices) and the constraint that tariffs should not differ too greatly from those set in the first stage. We consider two forms of predetermined threshold restrictions (absolute restriction (AR) and proportional restriction (PR)) on each tariff arc of the network to avoid the excessive-tariff problem. We further provide a single-stage reformulation of the two-stage SBP to calculate a valid upper bound for the revenue. We derive a few propositions to show some properties of the value function of our model such as its continuity and piecewise linearity in the AR case. We present three small airline-network examples with different network topologies, numbers of commodities, and outcomes of the random variables. We also give the stochastic and the expected solution of the expected value (EEV) solutions to indicate the value of the model and the stochastic solution. Finally, we present numerical results for randomly generated instances with 40 nodes and 200 arcs for various formulations of the model. The analysis of the numerical results shows that the model that assumes equal tariffs for both stages is more complex because of the tight restriction on the tariffs. The model that assumes that the demand is the only random variable is less complex because of the shortest-path equality for the follower problems in both stages. In Chapter 4, we introduce three variations of the stochastic bilevel pricing problem by considering delay, path/link reliability, and link capacity as random variables. In the first variation, we introduce stochastic disutility at the user level. This is modeled as a function of fixed costs, tariffs, tardiness, and reliability, and represents the situation where users are ready to compromise their target arrival time (deadline) for higher reliability. To achieve this goal, the disutility terms are expressed as the ratio of tardiness to reliability, both the numerator and denominator being random. The model considers the expectation form of the leader's objective function and ``wait and see” behavior for the follower. An example is presented to show the application of the model to telecom/airline networks. We also carry out a sensitivity analysis with respect to changes in the tardiness penalties and deadlines for different sets of fixed costs. In the second variation, we consider a framework that takes into account several features from the first variation. However, there are two differences. First, a tardiness penalty is incurred by the leader. Second, the reliability of an arc is now related to the flow that it carries and to a random capacity. A chance constraint, whose role is to prevent overflow and ensure the reliable performance of the system, is then imposed on the leader. In this setting, the path choice of the follower is not influenced by the reliability of the paths, since the constraint imposed at the upper level ensures a predetermined level of service. We reformulate the model as a linear MIP by transforming the chance constraints to linear constraints and show that the value function of the revenue is a continuous function with respect to the design-capacity proportion parameter. We illustrate the application of the model to telecom/transportation networks and show how changes in the probability level and the proportion parameter can change the revenue. Finally, the third variation considers congestion, which is a common issue in urban transportation (arising from construction, weather conditions, excess demand) and in telecommunications (arising from traffic, network degradation). It is directly related to the ``quality of service.'' In contrast with the second variation, where the quality of service is enforced by a chance constraint, the third variation explicitly models congestion via a volume-delay function of the BPR (Bureau of Public Roads). We present an example and a sensitivity analysis to show the effects on the revenue of changes in the design-capacity proportion parameter and the probability level

Stochastic Bilevel Models for Revenue Management in the Hotel Industry

RÉSUMÉ : La Gestion du Revenu consiste à maximiser le revenu des compagnies. Cette technique est pratiquée, entre autres, dans les secteurs de l’aéronautique, des télécommunications et de l'hôtellerie. Dans cette thèse, nous développons et résolvons un modèle stochastique biniveau pour l’industrie hôtelière qui est considérée, de nos jours, comme une industrie mûre caractérisée par une forte compétition et une gestion des inventaires compliquée. Nous avons remarqué que durant ces trente dernières années, la recherche dans le domaine de la gestion du revenu dans l’industrie hôtelière n’a pas proposé ou résolu de modèles qui considèrent simultanément l’affectation des inventaires, le prix, la longueur du séjour, la qualité de service et l’incertitude. Par conséquent, le but de cette thèse est de développer un nouveau modèle de gestion du revenu dans l’industrie hôtelière qui permet aux gestionnaires d’hôtels de prendre en compte certaines données pertinentes pour la prise des décisions relatives à la tarification et l’affectation des inventaires en se basant sur une meilleure compréhension du comportement des clients et de l’incertitude du marché. Nous nous inspirons pour cela des modèles biniveau de tarification et des modèles stochastiques à deux étapes. Dans le cas déterministe, le meneur (leader) de l’industrie essaie, au niveau supérieur, de fixer les prix de ses inventaires de façon à maximiser ses revenus. Puis, les usagers essaient, au niveau inférieur, de minimiser leurs dépenses en fonction des différentes alternatives. Dans le but d'introduire le facteur de l'incertitude, nous avons développé un modèle stochastique à deux étapes: à la première étape, le meneur, comme dans le cas déterministe, fixe ses prix en maximisant ses profits. Puis, chaque groupe d’utilisateurs choisit, au niveau inférieur, les inventaires les moins chers tout en considérant les attributs qu'ils ont préalablement définis (distance et qualité de service). À la seconde étape, nous introduisons de l'incertitude sur le prix fixé par les concurrents ainsi que sur la demande. En réaction, le meneur doit ajuster ses prix et ses affectations d’inventaires, ce qui implique des changements dans les distributions des groupes d’usagers aussi. Ces deux étapes sont liées par des contraintes absolues et proportionnelles relatives à la variation du prix de chaque inventaire. Comme ce modèle est un modèle stochastique biniveau à deux étapes, il hérite la propriété NP-Difficile du modèle biniveau déterministe. Dans ce modèle, nous considérons que l’incertitude peut être modélisée en utilisant des vecteurs aléatoires qui suivent une certaine distribution de probabilité connue. Cette information peut provenir des données historiques ou d’une connaissance empirique de la fonction de masse qui représente fidèlement la vraie distribution. Nous supposons que les vecteurs aléatoires ont un nombre fini de réalisations qui, dans notre cas, correspondent aux scénarios. Afin de résoudre notre modèle, nous avons développé non seulement des stratégies exactes, mais aussi des heuristiques. La stratégie exacte consiste à transformer le problème de base en un problème MIP (Mixed Integer Program), qui est standard pour ce type de problème. La principale réussite en termes d’heuristiques est le développement d’une heuristique gloutonne capable de résoudre le problème de manière efficace. Cette heuristique consiste à copier les prix des concurrents et à ré-optimiser en faveur du meneur. Pour continuer avec une recherche globale, le processus d’exploration a été suivi par un problème MIP restreint qui se base sur la solution fournie par notre heuristique. Finalement, la stratégie exacte supportée par les heuristiques consiste à ajouter au problème MIP original une heuristique qui cherche les solutions entières, par la procédure d’évaluation et séparation progressive (B&B), et qui permet d’ajuster directement la borne inférieure. Une fois que les heuristiques et le modèle ont été développés, nous avons créé un processus de génération de données. Ce processus cherche non seulement à générer des instances réalistes pour l’industrie, mais aussi à éviter les situations atypiques. Pour cela, nous avons modélisé la fluctuation du prix et de la demande en utilisant des variables aléatoires uniformes, et nous avons développé un processus analytique qui permet d’ignorer rapidement les situations atypiques. Les résultats numériques sont présentés pour les trois stratégies précédentes. Le résultat le plus satisfaisant est celui basé sur notre heuristique complétée par un problème MIP restreint. De plus, les résultats obtenus sont en accord avec le comportement économique. Selon que le meneur a ou n’a pas d’avantage compétitif en ce qui concerne la localisation des hôtels, il aura un comportement plus ou moins prédateur face à ses concurrents. Dans le cas où il a un avantage compétitif, le meneur cherchera à imiter le prix de ses concurrents afin d’attirer les groupes d’usagers offrant les revenus les plus importants. Lorsque le meneur n’est pas dans une position avantageuse, il fixera ses prix plus bas que ses concurrents pour attirer les groupes d’utilisateurs qui sont sensibles à la distance, mais aussi ceux qui sont plus sensibles à la qualité du service. Pour cela, il devra relocaliser ses inventaires en ignorant les groupes d’usagers qui lui procureront de faibles revenus. Finalement, un certain nombre d’analyses de sensibilité ont été réalisées pour évaluer la performance du modèle. Premièrement, nous avons introduit la stochasticité simultanément sur le prix et la demande. Ensuite, nous avons complexifié le modèle en variant la capacité de l’industrie. Notre heuristique a permis d’obtenir un résultat conforme au comportement économique espéré. Par conséquent, les principales contributions de cette recherche sont: l’élaboration d’un modèle complexe pour la gestion des revenus hôteliers, la résolution de grands et de petits exemples en un temps de calcul raisonnable, l’obtention de bons résultats grâce à l’utilisation de notre heuristique (même si nous ne pouvons pas garantir qu’il s’agit de la solution optimale), et l’offre de résultats utiles pour la prise de décision dans l’industrie hôtelière.----------ABSTRACT : Revenue Management consists in maximizing a company’s revenue. This technique is applied in the airline, telecommunications, and hospitality industry, among others. In this thesis, we develop and solve a stochastic bilevel model for the hotel industry, which is nowadays considered as a mature industry marked by an intense competition and by a complex inventory management. We noticed that over the last 30 years, Hotel Revenue Management research has not proposed and solved models that consider simultaneously inventory assignments, price, length of stay, quality of service and uncertainty. Therefore, the purpose of this doctoral research is to develop a new model for Hotel Revenue Management that is inspired from bilevel pricing models and from the Two-stage Stochastic Models and that allows hotel’s managers to account with useful data for pricing decision and assignment allocation, based on a better understanding of consumers’ behavior and market uncertainty. In a deterministic model, the leader of the industry tries to set prices to its inventories, maximizing its revenue in the upper level, and users choose the lowest cumulative expenditures among available alternatives, at the lower level. In order to introduce uncertainty information, we have developed a two-stage model: in the first stage the leader set its prices with the goal of maximizing profits in the upper level, and each users’ group chooses the least expensive inventory considering the attributes previously defined by them (distance and quality of service), at the lower level. In the second stage, we introduce uncertain information about competitors’ prices and demand, and thus the leader must set again its prices and inventory allocations, which also implies changes in users’ group distributions. The stages are tied by price variation in each inventory through an absolute and proportional constraint. It is difficult to solve the bilevel programming problem. The non-convexity usually present in bilevel programming results in the complexity of the solution algorithm. Even a very simple bilevel problem is still a NP-hard problem The NP-hard property of deteministic bilevel programs is also present in our two-stage stochastic bilevel model. We consider that uncertainty can be modeled with the support of random vectors that follow a known distribution function. This information might come from historical data or from the empirical knowledge of the distribution function, and that is close to the true unknown uncertainty. We assume that the random vectors have a finite number of realizations, which in our case corresponds to the scenarios. In order to solve our model, we developed not only exact strategies but also heuristics. The exact strategy consisted in transforming the basic problem into a MIP problem using the KKT conditions (or optimality conditions), through the use of big constants and auxiliary binary variables. The main achievement in terms of heuristics is the development of our greedy heuristic, which was able to solve the problem efficiently. This heuristic consisted in copying competitors’ prices and re-optimizing in favor of the leader. To keep a global search, the exploration process was followed by a MIP restricted problem that took as origin the solution provided by our heuristic. Finally, the exact strategy supported by heuristics consisted in adding to the MIP original problem a heuristic that looks for integer solutions directly in the branch and bound (B&B) tree. Once the model and the heuristics were developed, a data generation process was designed. The procedure sought not only to generate realistic instances for the industry but also to avoid unfeasible situations. To do this, we modeled price and demand fluctuations through the use of uniform random variables and we developed an analytical process that allowed us to disregard quickly atypical situations. The numerical results are presented for the two previous strategies, being the most performing the one based on our heuristic complemented with the MIP restricted problem. Moreover, the obtained results performed as expected in terms of its economic behavior. Depending on having or not a competitive advantage with respect to the location of its hotels, the leader has a more or less predatory behavior with its competition. In a situation under a competitive advantage, the leader seeks to imitate the price of its competitors in order to attract users’ groups that provide the highest revenue. If the leader is not in an advantageous position, it set lower prices than the competition to compensate users’ groups more sensible to distance. At the same time, it set competitive prices to attract users’ groups that are more sensitive to quality of service than to distance, which implies that the leader reallocates its inventories and disregards users’ groups providing lower revenues. Finally, a certain number of sensitivity analyzes were conducted to evaluate the performance of the model. First, we introduced stochasticity on price and demand simultaneously and then, we added more complexity by varying the capacity of the industry. The heuristic was able to obtain a result, which was again behaving economically as expected. Therefore, the main contributions of this research are to provide a elaborated model for Hotel Revenu Management, to solve small and large instances in a reasonable computing time, to obtain good results through the use of our heuristic (although we cannot assure it is the optimal solution), and to provide very useful results such as: pricing information, users group distribution in inventories, users group revenue contributions, sensitivity to capacity parameters, for decision making in the hotel industry