Bibliography on Realizability

AbstractThis document is a bibliography on realizability and related matters. It has been collected by Lars Birkedal based on submissions from the participants in “A Workshop on Realizability Semantics and Its Applications”, Trento, Italy, June 30–July 1, 1999. It is available in BibTEX format at the following URL: http://www.cs.cmu.edu./~birkedal/realizability-bib.html

Unifying Functional Interpretations: Past and Future

This article surveys work done in the last six years on the unification of various functional interpretations including G\"odel's dialectica interpretation, its Diller-Nahm variant, Kreisel modified realizability, Stein's family of functional interpretations, functional interpretations "with truth", and bounded functional interpretations. Our goal in the present paper is twofold: (1) to look back and single out the main lessons learnt so far, and (2) to look forward and list several open questions and possible directions for further research.Comment: 18 page

Computational Interpretations of Classical Linear Logic

Abstract. We survey several computational interpretations of classical linear logic based on two-player one-move games. The moves of the games are higher-order functionals in the language of finite types. All interpretations discussed treat the exponential-free fragment of linear logic in a common way. They only differ in how much advantage one of the players has in the exponentials games. We dis-cuss how the several choices for the interpretation of the modalities correspond to various well-known functional interpretations of intuitionistic logic, including Gödel’s Dialectica interpretation and Kreisel’s modified realizability.

Unifying Functional Interpretations

The purpose of this article is to present a parametrised functional interpretation. Depending on the choice of the two parameters one obtains well-known functional interpretations, among others Gödel\u27s Dialectica interpretation, Diller-Nahm\u27s variant of the Dialectica interpretation, Kreisel\u27s modified realizability, Kohlenbach\u27s monotone interpretations and Stein\u27s family of functional interpretations. We show that all these interpretations only differ on two basic choices, which are captured by the parameters, namely the choices of (1) "how much" of the counter-examples for A becomes witnesses for the negation of A, and of (2) "how much" information about the witnesses of A one is interested in

Functional interpretation and inductive definitions

Extending G\"odel's \emph{Dialectica} interpretation, we provide a functional interpretation of classical theories of positive arithmetic inductive definitions, reducing them to theories of finite-type functionals defined using transfinite recursion on well-founded trees.Comment: minor corrections and change

An den Grenzen des Endlichen

Die Arbeit widmet sich der philosophischen Diskussion des Hilbertprogramms (HP), und zwar in einem methodischen Dreischritt aus Erötertung seiner Konzeption, Analyse seiner Durchführung und Reflexion philosophischer Fragen. Zur Konzeption dieses mathematischen Grundlegungsprogramms gehören Axiomatik, Formalismus und Finitismus, sowie die Beziehung des HP zum Intuitionismus und zum Logizismus. Es wird kritisch von instrumentalistischen Auslegungen abgegrenzt. Durchgeführt wurde das Programm zuerst in den einschlägigen Arbeiten von Hilbert, Bernays, Ackermann und Gentzen. Die darin gegebenen (Ansätze zu) Widerspruchsfreiheitsbeweise(n) werden analysiert und ihre Argumentationsstruktur herausgearbeitet. Die Reflexion beschäftigt sich mit drei Problemkreisen: Poincarés Zirkularitätskritik, Gödels Unvollständigkeitssätze und Kreisels Frage nach der Rolle transfiniter Ordinalzahlen in einer finitistischen Theorie. Ein Resümee fragt, was das HP eigentlich leistet, und versucht eine differenzierte Antwort auf die Frage, ob es gescheitert ist

Chronologie der Naturwissenschaften: Der Weg der Mathematik und der Naturwissenschaften von den Anfängen in das 21. Jahrhundert

Das Werk ist eine Chronologie der mathematisch-naturwissenschaftlichen Entdeckungen und deren Protagonisten. Es enthält ca. zwölftausend Einträge über Entdeckungen und Erfindungen mit den Namen jener Personen, die in den einzelnen Disziplinen (Mathematik, Physik, Chemie, Astro-, Geo- und Biowissenschaften) Entdeckungen gemacht haben. Das Nachschlagewerk ist nach Jahren geordnet und umfasst den Zeitraum zwischen 10.000 v.Chr. bis 1990. Das Werk ergibt damit ein Bild von dem langen und komplizierten Prozess, der von den ersten Erfahrungen und Erkenntnissen über die Natur zu einzelnen wissenschaftlichen Kenntnissen über deren Teilgebiete, dann zu systematischem Wissen über diese Teilgebiete und schließlich zu den heutigen Naturwissenschaften führte. Für die Vor- und Frühgeschichte sind dabei auch Leistungen berücksichtigt, denen das Attribut der Wissenschaftlichkeit zwar nur bedingt zuerkannt werden kann, deren Aufnahme jedoch unabdingbar ist, um die historischen Entwicklungslinien im vollen Umfang nachzuzeichnen. Die Geowissenschaften sind in ihrer ganzen, auch die Länder- bzw. Völkerkunde umfassenden Breite vertreten, wobei auch die Anfänge jener Entwicklungen berücksichtigt wurden, die später zu den heute oft als Humangeographie bezeichneten sozial- und geisteswissenschaftlichen Komponenten der Geowissenschaften (Sozial-, Verkehrs-, Wirtschaftsgeographie usw.) führten. Zudem enthält das Werk Daten zu frühen Universitätsgründungen, zur Formierung verschiedener philosophischer Ideen und Systeme, zur Entstehung bedeutender Akademien, zur Gründung von Vereinigungen der einzelnen Disziplinen, zur Herausgabe von Zeitschriften und zur Konstruktion von wissenschaftlichen Geräten, die – wie Mikroskop, Fernrohr oder Teilchenbeschleuniger – die weitere Forschung maßgeblich beeinflussten. Eine besondere Rolle spielte die Umsetzung naturwissenschaftlicher Ideen in technologischen Verfahren und die sich dabei ergebenden Rückwirkungen auf den Erkenntnisfortschritt in der jeweiligen Disziplin. Die Fülle der Einträge ermöglicht es, eine Vorstellung von den bestimmenden Entwicklungslinien der einzelnen naturwissenschaftlichen Gebiete und der Mathematik in einem beliebigen Zeitraum zu gewinnen und zu erkennen, welchen Platz sie und ihre Disziplinen in der Entwicklung der menschlichen Gesellschaft eingenommen haben bzw. wie sich diese Rolle im Laufe der Jahrhunderte veränderte. Zugleich werden auch die Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Disziplinen deutlich.:Geleitwort Vorwort und Danksagung Benutzerhinweise Autoren und deren Beiträge Epochen Vorgeschichte und frühe Hochkulturen Griechisch-hellenistische Antike Mittelalter Renaissance, Humanismus, Reformation Wissenschaftliche Revolution und Rationalismus Die Zeit des Durchbruchs zur Industriewirtschaft Der Industriekapitalismus am Ende des 19. und im Übergang ins 20. Jahrhundert Die Herausbildung der modernen Naturwissenschaften Die Zeit des kalten Krieges Verzeichnisse Verzeichnis der Nobelpreisträger Literaturverzeichnis Personenverzeichnis Sachwortverzeichni