Set optimization - a rather short introduction

Recent developments in set optimization are surveyed and extended including various set relations as well as fundamental constructions of a convex analysis for set- and vector-valued functions, and duality for set optimization problems. Extensive sections with bibliographical comments summarize the state of the art. Applications to vector optimization and financial risk measures are discussed along with algorithmic approaches to set optimization problems

Subdifferential calculus for invariant linear ordered vector space-valued operators and applications

We give a direct proof of sandwich-type theorems for linear invariant partially ordered vector space operators in the setting of convexity. As consequences, we deduce equivalence results between sandwich, Hahn-Banach, separation and Krein-type extension theorems, Fenchel duality, Farkas and Kuhn-Tucker-type minimization results and subdifferential formulas in the context of invariance. As applications, we give Tarski-type extension theorems and related examples for vector lattice-valued invariant probabilities, defined on suitable kinds of events

L^0-convex analysis and conditional risk measures

Motiviert durch Anwendungen aus der Finanzmathematik wird in der vorliegenden Dissertation konvexe Analysis für Moduln über dem geordneten Ring L^0 aller Zufallsvariablen studiert. Dabei werden L^0-Moduln erarbeitet, die als Pendant zu lokal konvexen Vektorräumen begriffen werden können, sogenannte lokal L^0-konvexe Moduln. Für solche L^0-Moduln werden Hyperebenen Trennungssätze bewiesen. Des weiteren werden Stetigkeits- und Subdifferenzierbarkeitseigenschaften sowie duale Darstellungen von Fenchel-Moreau Typ für L^0-konvexe Funktionen untersucht, welche L^0-Moduln nach L^0 abbilden. Als Beispiele für lokal L^0-konvexe Moduln werden L^0-Moduln analog zu L^p und Orlicz Räumen präsentiert. Hierbei wird vor allem topologische Vollständigkeit der L^0-Moduln untersucht und im Falle des L^0-Moduls von L^p Typ wird zusätzlich das duale L^0-Modul charakterisiert. Anwendungen für Risikomaße werden beispielhaft demonstriert. Des weiteren werden Resultate bezüglich automatischer Stetigkeit und Subdifferenzierbarkeit monotoner konvexer Funktionen, welche L^0-Moduln nach L^0 abbilden, präsentiert. Diese Resultate stellen Verallgemeinerungen von klassischen Resultaten über automatische Stetigkeit und Subdifferenzierbarkeit monotoner konvexer Funktionen und konvexer Risikomaße dar. Als zentrale Motivation der vorliegenden Arbeit werden zwei unterschiedliche Zugänge zu bedingten Risikomaßen vorgestellt und verglichen. Während dem einen vektorraumbasierte konvexe Analysis zugrunde liegt, innerhalb dessen bedingte Risikomaße als Funktionen auf L^p Räumen verstanden werden, liegt dem anderen Zugang modulbasierte konvexe Analysis, wie in dieser Dissertation erarbeitet, zugrunde. Bei letzterem werden bedingte Risikomaße als Funktionen auf L^0-Moduln von L^p Typ verstanden. Durch verschiedene Anwendungen, wie zum Beispiel montone (sub)cash invariante Hüllen, die im Rahmen zahlreicher Beispiele dargestellt werden, wird aufgezeigt, dass modulbasierte konvexe Analysis viele nützliche Resultate für das Konzept bedingter Risikomaße bereitstellt.Motivated by financial applications, we study convex analysis for modules over the ordered ring L^0 of random variables. We establish a module analogue of locally convex vector spaces, namely locally L^0-convex modules. In this context, we prove hyperplane separation theorems. We investigate continuity, subdifferentiability and Fenchel-Moreau type dual representations for L^0-convex functions from L^0-modules into L^0. We introduce topological L^0-modules of L^p and Orlicz type. We investigate completeness and we compute the topological dual L^0-module of the L^p type L^0-module. Applications in terms of risk measures are given. Further, we establish automatic continuity and subdifferentiability results for monotone convex functions from L^0-modules into L^0. The results are generalizations of classical results on automatic continuity and subdifferentiability of monotone convex functions and convex risk functions. We present and compare two different approaches to conditional risk measures. One approach draws from vector space based convex analysis and presents conditional risk measures as functions on L^p spaces while the other approach utilizes module based convex analysis as presented in this thesis where conditional risk measures are defined on L^p type L^0-modules. Both approaches utilize general duality theory for vector valued convex functions in contrast to the current literature. By presenting several applications such as monotone and (sub)cash invariant hulls with corresponding examples we illustrate that module based convex analysis is well suited to the concept of conditional risk measures