Alguns modelos de dinâmica de fluidos clássicos com força de Coriolis em espaços de Besov

Orientador: Lucas Catão de Freitas FerreiraTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Nesta tese, analisamos três modelos de dinâmica de fluidos com força de Coriolis e definidos em todo o espaço. O primeiro problema aborda as equações de Euler incompressíveis com força de Coriolis, considerando dados iniciais em espaços de Besov não-homogêneos. Aqui, obtemos a existência local e a unicidade de solução para este problema usando regularização parabólica para os casos crítico e supercrítico da regularidade. Esta técnica utiliza soluções aproximadas que dependem da viscosidade, e como um fato fundamental para passar o limite nessas soluções, temos que o tempo de existência é independente do parâmetro de Coriolis e da própria viscosidade. Depois, provamos um critério de blow-up e, com mais regularidade nos dados iniciais, usamos uma estimativa de tempo-espaço do tipo Strichartz para mostrar que a solução local pode ser estendida para qualquer tempo. Essa arbitrariedade do tempo é possível desde que a velocidade de rotação seja grande o suficiente. Em seguida, estudamos as equações de Boussinesq invíscida com força de Coriolis. Para este problema também tomamos os dados iniciais em espaços de Besov não-homogêneos considerando os casos crítico e supercrítico da regularidade. Em vez de usar regularização parabólica, usamos um sistema de iteração linear aproximado que permite construir uma sequência que converge para a solução local do problema em questão. Posteriormente, provamos um critério de blow-up e consideramos mais regularidade nos dados iniciais para estender a solução local. Mais uma vez, usamos uma desigualdade do tipo Strichartz e, através de um argumento de contradição, mostramos a resolubilidade do problema para tempos grandes, contanto que a velocidade de rotação seja suficientemente grande. Finalmente, consideramos as equações de Navier-Stokes com força de Coriolis. Tomamos dados iniciais em espaços de Besov homogêneos com regularidade igual ou acima da crítica. Aqui, a criticalidade é no sentido da invariância pela relação de escala (scaling) das equações de Navier-Stokes. Introduzimos algumas classes de dados-iniciais adequadas e obtemos resultados de boa-colocação global para velocidades de rotação grandes, usando algumas estimativas do tipo Strichartz para o semigrupo de Stokes-Coriolis. Além disso, mostramos algumas propriedades de comportamento assintótico quando a velocidade de rotação vai para o infinitoAbstract: In this thesis, we analyze three fluid dynamics models with Coriolis force and defined in the whole space. The first problem deals with the incompressible Euler equations with Coriolis force by considering initial data in nonhomogeneous Besov spaces. Here, we obtain the local existence and uniqueness of solution to this problem using parabolic regularization for the critical and supercritical cases of regularity. This technique gives rise to approximate solutions that depend on the viscosity, and as a fundamental fact to pass the limit to these solutions, we have that the time of existence is independent of the Coriolis parameter and the viscosity itself. Then we prove a blow-up criterion, and with more regularity on the initial data, we use space-time estimates of Strichartz type to show that the local solution can be extended for any time. This arbitrariness of time is possible provided that the rotation speed is large enough. Next, we study the inviscid Boussinesq equations with Coriolis force. For this problem we also take the initial data in nonhomogeneous Besov spaces considering the critical and supercritical cases of regularity. Instead of using parabolic regularization, we use an approximate linear iteration system allowing to construct a sequence that converges to the local solution of the problem in question. Subsequently, we prove a blow-up criterion and consider more regularity on the initial data in order to extend the local solution. Again we use a Strichartz type inequality, and through a contradiction argument, we show the long-time solvability of the problem for large rotation speed. For the two above problems the criticality sense is linked to the Sobolev type embedding. Finally, we consider the Navier-Stokes equations with Coriolis force. We take initial data belonging to homogeneous Besov spaces with regularity greater or equal to the critical one. Here, the criticality is in the sense of invariance under the Navier-Stokes scaling. We introduce some suitable initial-data classes and obtain results on the global well-posedness for large rotation speed by using some estimates of Strichartz type for the Stokes-Coriolis semigroup. In addition, we show some properties of asymptotic behavior when the rotation speed goes to infinityDoutoradoMatematicaDoutor em Matemática140725/2016-4CNPQCAPE

Global Existence and Long-Time Asymptotics for Rotating Fluids in a 3D Layer

The Navier-Stokes-Coriolis system is a simple model for rotating fluids, which allows to study the influence of the Coriolis force on the dynamics of three-dimensional flows. In this paper, we consider the NSC system in an infinite three-dimensional layer delimited by two horizontal planes, with periodic boundary conditions in the vertical direction. If the angular velocity parameter is sufficiently large, depending on the initial data, we prove the existence of global, infinite-energy solutions with nonzero circulation number. We also show that these solutions converge toward two-dimensional Lamb-Oseen vortices as time goes to infinity.Comment: 26 pages, no figur