Una nota sobre encajes de subgrupos de productos de grupos topológicos

In this paper, we study $\omega$-narrow and $\omega$-balanced topological groups and prove they may be embedded as subgroups of products of second countable (resp, first countable) topological groups. We also prove that this kind of groups are closed with respect to the most common operations, such as the taking of subgroups, arbitrary products and under continuos homomorphic images. We finally prove that the class of $\omega$-balanced topological groups is  wider than the class of $\omega$-narrow topological groups.En este artículo se estudian los grupos topológicos $\omega$-estrechos y $\omega$-balanceados y se demuestra que se pueden encajar como subgrupos de productos de grupos topológicos segundo numerable o primero numerable respectivamente. Se prueba que estas clases de grupos son cerradas bajo las operaciones mas frecuentes en grupos topológicos, son cerradas bajo subgrupos, bajo productos arbitrarios y se conservan atravéz de homomorfismos continuos. Se muestra también que la clase de grupos topológicos $\omega$-balanceados es más amplia que la clase de grupos topológicos $\omega$-estrechos

Clases de grupos topológicos que se pueden encajar como subgrupos de productos de grupos primero numerable y segundo numerable

Como la integración era una herramienta fundamental en el estudio de los grupos de Lie, especialmente en las representaciones, el establecimiento de la existencia de las integrales apropiadas sobre clases generales de grupos topológicos se convertido en una cuestión importante. Esto lo consiguió Haar en 1933 para grupos localmente compactos con bases de abiertos numerables. Von Neumann (1934) dio otra prueba para grupos compactos arbitrarios de manera que la teoría de grupos de Lie compactos podía aplicarse a todos los grupos compactos y pudo resolver en este caso especial el problema planteado por Hilbert. El método de Haar de integración fue extendido a todos los grupos localmente compactos por Weil (1940). Sin embargo, existen serios obstáculos a la hora de extender la teoría de representación a grupos localmente compactos, y no fue hasta 1952 cuando el problema de Hilbert fue asentado por Gleason, Montgomery y Zippin. Su respuesta puede formularse de la siguiente forma: un grupo topológico es un grupo de Lie si, y solo si, es localmente compacto y no tiene subgrupos arbitrarios pequeños, es decir, el elemento identidad tiene un entorno compacto que no contiene subgrupos no triviales. Y, aunque la teoría de los grupos topológicos se desarrolló principalmente para estudiar los grupos de Lie su impulso provino de problemas en análisis, pronto se probó que era útil en conceptos puramente algebraicos. Ciertas construcciones algebraicas hacen que los grupos tengan estructuras topológicas naturales que son de alguna forma patológicas desde el punto de vista del analista. Como ejemplo tenemos los anillos de series de potencias, los grupos de Galois de extensiones infinitas de cuerpos y los grupos p-´adicos. Dicha patología se sitúa en la existencia de subgrupos arbitrariamente pequeños, pero en los casos más importantes los grupos son, de hecho, localmente compactos y de ahí que la integración pueda llevarse a cabo sobre ellos. La clase de los grupos topológicos ω-estrechos fue introducida por I. I. Guran en 9, no siempre fueron llamados ω-estrechos anteriormente eran conocidos como ℵ0-acotados. Dado que este concepto ya era utilizado en espacios topológicos, se decidió cambiar la terminología y llamar a los grupos en cuestión ω-estrechos. Estudiando está clase de grupos topológicos se pudo observar que gozaban de propiedades muy importantes, eran cerrados bajo productos, bajo subgrupos y bajo imágenes de homomorfismos continuos. Esto mostraba que la clase de los grupos topológicos ω-estrechos era análoga o paralela a la clase de espacios Tychonoff. De hecho, la clase más pequeña de espacios topológicos que contiene todos los espacios metrizables separables, cerrada bajo subespaciosy productos arbitrarios, es la clase de los espacios Tychonoff. La clase de los grupos topológicos ω-estrechos, caracteriza a los grupos topológicos que se pueden encajar como un subgrupo de un producto de grupos segundo numerable. Por otro lado, la clase de los grupos topológicos ω-balanceados fue introducida por G. I. Kats en 11, está clase de grupos topológicos caracterizaba a la clase de grupos topológicos que se pueden encajar como un subgrupo de un producto de grupos metrizables.La teoría de los grupos topológicos es uno de los ejemplos más interesantes de interacción exitosa de dos áreas distintas de las matemáticas: la teoría de los grupos y la topología general. A través de esta última se incorpora también otra rama fundamental, como la teoría de conjuntos. La convergencia de estas fue el resultado de la influencia de la teoría de los grupos de Lie y de varias clases de grupos de transformaciones. Es, por tanto, difícil, delimitar la frontera entre la topología general y otras disciplinas próximas. Por ejemplo, algunas cuestiones planteadas en campos limítrofes pueden ser abordadas y resueltas con técnicas y conceptos que surgen de la topología general. Este fenómeno ha sido (y es) relevante y ha estado motivado con el hecho de que muchos investigadores en topología general se han formado en áreas colindantes como el análisis funcional o la geometría, e incluso el álgebra. Uno de los ejemplos de esta dificultad a la hora de establecer frontera entre la topología general y otras materias son los grupos topológicos abstractos, los cuales fueron definidos por Schreier en 1926, aunque la idea estaba implícita en trabajos muy anteriores sobre grupos continuos de transformaciones. La materia tiene sus origines en el programa de Klein (1872) de estudiar geometrías a través de los grupos de transformaciones asociadas a ellos y la teoría de Lie de grupos continuos saliendo de la solución de ecuaciones diferenciales. Los grupos clásicos de la geometría (grupos lineales generales, grupos unitarios, grupos simplecitos...) son de hecho, grupos de Lie, es decir, son variedades analíticas y sus operaciones de grupos son funciones analíticas. Por otra parte, Killing y Cartan probaron que todos los grupos de Lie simples son grupos clásicos, excepto un número finito de grupos excepcionales. En relación con los grupos topológicos, en 1900, Hilbert propuso el problema, el que hacia el número 5 de su famosa lista, de si todo grupo continuo de transformaciones de un espacio real o complejo de dimensión finita es un grupo de Lie. Sin embargo, este problema acabo formulándose de una forma más abstracta. Un grupo topológico es un espacio topológico con las operaciones de grupo continuas, y la pregunta es: ¿qué condiciones topológicas sobre un grupo topológico aseguran que tenga una estructura analítica que hagan que sea grupo de Lie

Acciones propias en grupos topológicos y aplicaciones a espacios cocientes

Sean X un grupo topológico y G un subgrupo localmente compacto de X. Mostraremos que la acción natural de G sobre X dada por (g, x) → xg^(−1) es propia en el sentido de Palais, y que dadas las condiciones impuestas esta acción es también propia, Palais - Cartan propia, de Cartan y Bourbaki - propia; resultados que permitirán probar la existencia de un conjunto cerrado F ⊂ G, G - fundamental tal que la restricción de la aplicación cociente π|F : F → X/G es perfecta (i.e. cerrada con fibras compactas) hecho que posibilitará la transferencia de algunas propiedades topológicas estables bajo aplicaciones perfectas y heredadas por conjuntos cerrados en X al espacio cociente X/G. Finalmente, demostraremos que si X es además paracompacto se establece la relación dim(X) ≤ dim(X/G) + dim(G) entre las dimensiones de los G - espacios X, X/G y G.Abstract. Let X be a topological group and G a locally compact subgroup of X. We show that the natural action of G on X given by (g, x) → xg^(−1) is proper in the sense of Palais, and given the conditions this action is itself Palais- Cartan, Cartan and Bourbaki proper; results that will prove the existence of a closed set F ⊂ G, G - fundamental such that the restriction of the quotient map π|F : F → X/G is perfect (i.e. closed with compact fibers) this will enable the transfer of some stable topological properties under perfect application and inherited by closed sets in X to the quotient space X/G. Finally, we show that if X is also paracompact the inequality dim(X) ≤ dim(X/G) + dim(G) relates the dimensions of the G- spaces X, X/G and G.Maestrí

Diferenciabilidad no conmutativa

RESUMEN     Si Ges un grupo de Lie y f es una función de G en G diferenciable en el sentido de grupos topológicos, entonces f es diferenciable vista como función entre variedades. Sin embargo el recíproco no se tiene

Diferenciabilidad no conmutativa

RESUMEN     Si Ges un grupo de Lie y f es una función de G en G diferenciable en el sentido de grupos topológicos, entonces f es diferenciable vista como función entre variedades. Sin embargo el recíproco no se tiene

The dual of the reflection of a topological group.

En este escrito presentamos un estudio de la dualidad de un grupo vía reflexiones. Iniciamos con la demostración de una condición necesaria para que el homomorfismo dual del homomorfismo que va del grupo a su reflexión sea una biyección continua, esto es, que siendo φ: G → ξ(G), sucede que φb: ξ[(G) → Gb es una biyección continua si T ∈ ξ, donde ξ es una subcategoría reflexiva de la categoría de los grupos topológicos y ξ(G) es la reflexión de G. Una vez se tenga la anterior condición se demuestra que Gb ∼= ξ[(G), cuando G es un grupo compacto, o es un grupo topológico Čech completo con φ: G → ξ(G) sobreyectiva y abierta, o un grupo topológico localmente compacto y φ: G → ξ(G) es sobreyectiva y abierta. En el caso del dual de las reflexiones de grupos topológicos metrizables, nos apoyamos en el resultado de Chasco [5] que implica que si G es un grupo topológico abeliano metrizable y H es un subgrupo denso de G, entonces los grupos duales Gb y Hb son topológicamente isomorfos.In this paper we present a study of the duality of a group via reflections. We begin with the demonstration of a necessary condition for the continuity of the dual homomorphism of the homomorphism that goes from the group to its reflection, that is, if φ: G → ξ(G), it follows that φb: ξ[(G) → Gb is a continuous bijection for T ∈ ξ, where ξ is a reflective subcategory of the category of topological groups and ξ(G) is the reflection of G. Once the previous condition is met, it is shown that Gb ∼= ξ[(G), when G is either a compact group or a topological group Čech complete with φ: G → ξ(G) surjective and open or a locally compact topological group and φ: G → ξ(G) is surjective and open. In the case of the dual reflections of metrizable topological groups, we rely on a result of Chasco [5] which implies that when G is a metrizable abelian topological group and H is a dense subgroup of G, then the dual groups Gb and Hb are topologically isomorphic

A Dualidade de Gelfand para grupos topologicos compactos

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciencias Fisicas e Matematicas, Curso de Pós-Graduação em Matemática, Florianópolis, 1980No presente trabalho apresentamos alguns aspectos da Teoria de Álgebras de Funções. Estudamos a dualidade de Gelfand entre espaços topológicos compactos e álgebras C*c. Usando os resultados desse estudo, desenvolvemos a dualidade de Gelfand entre grupos topológicos compactos e álgebras C*c de Hopf, simples com co-identidade