Αριθμητικές Μέθοδοι Πινάκων για τον υπολογισμό του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη Πολυωνύμων και Εφαρμογές

Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) ενός συνόλου πολυωνύμων έχει αποδειχθεί ότι είναι πολύ σημαντικός για πληθώρα εφαρμογών στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και την Μηχανική. Αρκετές μέθοδοι έχουν προταθεί για τον υπολογισμό του (ΜΚΔ) πολυωνύμων. Οι περισσότερες από αυτές βασίζονται στον Ευκλείδειο Αλγόριθμο και είναι έτσι σχεδιασμένες έτσι ώστε να επεξεργάζονται 2 πολυώνυμα την φορά και μπορούν να εφαρμοστούν κατά επανάληψη αντί για δύο έχουμε περισσότερα πολυώνυμα. Υπάρχουν πολλές επαρκείς μέθοδοι βασισμένες σε πίνακες οι οποίες μπορούν να υπολογίσουν την τάξη και τους συντελεστές του ΜΚΔ με το να εφαρμόζουν συγκεκριμμένους μετασχηματισμούς σε ένα πίνακα ο οποίος έχει κατασκευαστεί απ’ εύθειας από τους συντελεστές των πολυωνύμων που έχουμε.Τα θεωρήματα του Barnett για τον (ΜΚΔ) με χρήση πινάκων Bezout συμπεριλαμβάνει έναν πολύ συμπαγή τρόπο παραμετροποίησης και απεικόνισης του (ΜΚΔ) πολυωνύμων.Η παρούσα εργασία ασχολείται με την εφαρμογή της \EN QR \GR παραγοντοποίησης με οδήγηση κατά στήλες (QRCP) ενός πίνακα και την επίτευξη σε ένα βαθμό του ΜΚΔ μέσω της τάξης ενός πίνακα ειδικότερα όταν the rank deficiency of the {Bezout} πίνακα είναι υψηλή.Αρχικά κατασκευάζουμε τον {Bezout} πίνακα ενός συνόλου πολυωνύμων ,εφαρμόζουμε τα θεωρήματα του Barnett για τον (ΜΚΔ) και στο τέλος εφαρμόζουμε την (QRCP) μέθοδο για να βρούμε τους συντελεστές του (ΜΚΔ).Η μέθοδος αυτή μας δίνει τα μέσα για μια πιο αποτελεσματική εφαρμοφή της κλασσικής QR με λιγότερη πολυπλόκοτητα. Ασχολούμαστε επίσης με τις κλασσικές απεικονίσεις του ΜΚΔ μέσω δομημένων πινάκων όπως η μέθοδος QR Bezout και με την πολυπλοκότητα τους την οποία αναλύουμε θεωρητικά, δίνοντας παραδείγματα.Συγκρίνουμε τις μεθόδους και την πολυπλοκοτητα τους .Τέλος προτείνουμε την χρήση της QR που αποκαλύπτει την τάξη με οδήγηση κατά στήλες για τον υπολογισμό του ΜΚΔ πολυωνύμων.The Greatest Common Divisor (GCD) of a polynomial set is proven to be very important to many applications in applied mathematics and engineering. Several methods have been proposed for the computation of the GCD of sets of polynomials. Most of them are based on the Euclidean algorithm. They are designed to process two polynomials at a time and can be applied iteratively when a set of more than two polynomials is considered . Conversely, there exist efficient matrix-based methods which can compute the degree and the coefficients of the GCD by applying specific transformations to a matrix formed directly from the coefficients of the polynomials of the entire given set. Barnett's theorems about (GCD) through Bezoutians involve Bezout-like matrices and suggest a very compact way of parametrising and representing the GCD of several univariate polynomials. The present work introduces the application of the QR decomposition with column pivoting (QRCP) to a {Bezout} matrix, achieving the computation of the degree and the coefficients of the GCD through the range of the {Bezout} matrix ,especially when the rank deficiency of the {Bezout} matrix is high.In the beginning we construct the {Bezout}matrix of a set of polynomials ,we apply Barnett's theorems and in the end we apply the QRCP method to find the coeffiecients of the GCD. This method provides the means for a more efficient implementation of the classical {Bezout}-QR method with less computational complexity and without compromising accuracy, and it enriches the existing framework for the computation of the GCD of several polynomials using structured matrices. The classical GCD representations through structured matrices are revisited and their computational complexity is theoretically analyzed and compared. Demonstrative examples explaining the application of each method are given.We compare the methods and their complexity.We propose the use of the {rank revealing QR with column pivoting} for the computation of the GCD of polynomials through {Bezout}-like matrices which improves the numerical behavior of the existing {Bezout}-QR algorithms

Montgomery's method of polynomial selection for the number field sieve

The number field sieve is the most efficient known algorithm for factoring large integers that are free of small prime factors. For the polynomial selection stage of the algorithm, Montgomery proposed a method of generating polynomials which relies on the construction of small modular geometric progressions. Montgomery's method is analysed in this paper and the existence of suitable geometric progressions is considered

A matrix-based approach to properness and inversion problems for rational surfaces

We present a matrix-based algorithm for deciding if the parametrization of a curve or a surface is invertible or not, and for computing the inverse of the parametrization if it exists.Comment: 12 pages, latex, revised version accepted for publication in the Journal AAEC

Resultant-based methods for plane curves intersection problems

http://www.springeronline.com/3-540-28966-6We present an algorithm for solving polynomial equations, which uses generalized eigenvalues and eigenvectors of resultant matrices. We give special attention to the case of two bivariate polynomials and the Sylvester or Bezout resultant constructions. We propose a new method to treat multiple roots, detail its numerical aspects and describe experiments on tangential problems, which show the efficiency of the approach. An industrial application of the method is presented at the end of the paper. It consists in recovering cylinders from a large cloud of points and requires intensive resolution of polynomial equations

Companion based matrix functions: description and minimal factorization

Companion based matrix functions are rational matrix functions admitting a minimal realization involving state space matrices that are first companions. Necessary and sufficient conditions are given for a rational matrix function to be companion based. Minimal factorization of such functions is discussed in detail. It is shown that the property of being companion based is hereditary with respect to minimal factorization. Also, the issue of minimal factorization is reduced to a division problem for pairs of monic polynomials of the same degree. In this context, a connection with the Euclidean algorithm is made. The results apply to canonical Wiener-Hopf factorization as well as to complete factorization. The analysis of the latter leads to a combinatorial problem involving the eigenvalues of the state space matrices. The algorithmic aspects of this problem are intimately related to the two machine flow shop problem and Johnson's rule from job scheduling theory

Eigenvectors of tensors - A primer

We give an introduction to the theory and to some applications of eigenvectors of tensors (in other words, invariant one-dimensional subspaces of homogeneous polynomial maps), including a review of some concepts that are useful for their discussion. The intent is to give practitioners an overview of fundamental notions, results and techniques