Flow equivalent trees in undirected node-edge-capacitated planar graphs

Given an edge-capacitated undirected graph G = (V, E, C) with edge capacity c : E {mapping} R+, n = | V |, an s - t edge cut C of G is a minimal subset of edges whose removal from G will separate s from t in the resulting graph, and the capacity sum of the edges in C is the cut value of C. A minimum s - t edge cut is an s - t edge cut with the minimum cut value among all s - t edge cuts. A theorem given by Gomory and Hu states that there are only n - 1 distinct values among the n (n - 1) / 2 minimum edge cuts in an edge-capacitated undirected graph G, and these distinct cuts can be compactly represented by a tree with the same node set as G, which is referred to the flow equivalent tree. In this paper we generalize their result to the node-edge cuts in a node-edge-capacitated undirected planar graph. We show that there is a flow equivalent tree for node-edge-capacitated undirected planar graphs, which represents the minimum node-edge cut for any pair of nodes in the graph through a novel transformation

Algoritmos paralelos para árvores de cortes e medidas de centralidade em grafos

Resumo: Uma árvore de cortes é uma representação compacta da aresta-conectividade de um grafo não orientado. As árvores de cortes resolvem de maneira eficiente o problema de calcular a arestaconectividade entre todos os pares de vértices do grafo. As árvores de cortes têm muitas aplicações como, por exemplo, no projeto de redes confiáveis, na partição de grafos, no agrupamento em grafos, na análise de redes sociais, dentre outras. Dois algoritmos para a construção de árvores de cortes de grafos não orientados e capacitados são bem conhecidos: o algoritmo de Gomory-Hu e o algoritmo de Gusfield. Este trabalho apresenta propostas de implementações paralelas de três algoritmos para encontrar uma árvore de cortes. Versões paralelas para os algoritmos de Gusfield e de Gomory-Hu são descritas e avaliadas experimentalmente. Um algoritmo híbrido que combina esses dois algoritmos e que busca tirar proveito das vantagens de cada um deles também é apresentado. Resultados experimentais mostram que os três algoritmos apresentam boas acelerações nos tempos de execução. Os experimentos também mostram que o algoritmo híbrido é quase sempre mais rápido do que o algoritmo de Gomory-Hu e em certas instâncias ele é muito mais rápido do que o algoritmo de Gusfield. Heurísticas para a melhoria do algoritmo de Gomory-Hu e do algoritmo híbrido são propostas e analisadas. Na segunda parte desta tese, são estudadas medidas de centralidade dos vértices de um grafo que são baseadas na conectividade - algumas delas podem ser calculadas a partir de árvores de cortes. As medidas de centralidade de vértices têm como objetivo quantificar a importância dos vértices de um grafo com base em diferentes critérios. Dentre as medidas de centralidade propostas, destaca-se a i-aresta-conectividade, que mede a aresta-conectividade dos vértices em relação ao grafo. Uma medida de conectividade baseada em cortes de vértices também é proposta. Um estudo experimental com as medidas de conectividade foi executado para avaliar a relação das medidas propostas com outras medidas de centralidade mais conhecidas. Esse estudo mostra empiricamente que vértices com alta conectividade tendem a ter baixa excentricidade. Além disso, experimentos mostram que as medidas de conectividade não são equivalentes ao grau como critério de ordenação dos vértices