Certification of a Numerical Result: Use of Interval Arithmetic and Multiple Precision

International audienceUsing floating-point arithmetic to solve a numerical problem yields a computed result, which is an approximation of the exact solution because of roundoff errors. In this paper, we present an approach to certify the computed solution. Here, "certify" means computing a guaranteed enclosure of the error between the computed, approximate, result and the exact, unknown result. We discuss an iterative refinement method: classically, such methods aim at computing an approximation of the error and they add it to the previous result to improve its accuracy. We add two ingredients: interval arithmetic is used to get an enclosure of the error instead of an approximation, and multiple precision is used to reach higher accuracy. We exemplify this approach on the certification of the solution of a linear system

Bounding the error of a continuous approximation for linear systems

We present preconditioned interval Gauss-Siedel method and interval LU decomposition for finding solution to the interval linear system of equation Ad=b where the nxn coefficient matrix A lies between two bounds A and A and b„¡ƒËb,b ƒÍ. It is found out that preconditioned interval methods of Gauss-Siedel and LU have substantial reduction of excess widths of the interval hull of the solution set. In particular we also give our results in terms of midpoint-radius arithmetic for Gauss-Siedel method in the sense analogous to (Rump,1999) and (Gargantini and Henrici,1972) circular interval arithmetic

Study on fast numerical inclusion methods for eigenvalue problems

制度:新 ; 文部省報告番号:甲1930号 ; 学位の種類:博士(情報科学) ; 授与年月日:2004/3/24 ; 早大学位記番号:新381

Analyse numérique et réduction de réseaux

29 pagesNational audienceL'algorithmique des réseaux euclidiens est un outil fréquemment utilisé en informatique et en mathématiques. Elle repose essentiellement sur la réduction LLL qu'il est donc important de rendre aussi efficace que possible. Une approche initiée par Schnorr consiste à effectuer des calculs approchés pour estimer les orthogonalisations de Gram-Schmidt sous-jacentes. Sans approximations, ces calculs dominent le coût de la réduction. Récemment, des outils classiques d'analyse numérique ont été revisités et améliorés, pour exploiter plus systématiquement l'idée de Schnorr et réduire les coûts. Nous décrivons ces développements, notamment comment l'algorithmique en nombres flottants peut être introduite à plusieurs niveaux dans la réduction