Extremális Problémák Diszkrét Struktúrákban = Extremal Problems in Discrete Structures

A négy éves projekt során 17 cikkünk jelent meg, 2 nyomdában van, 2 elfogadott és 2 benyújtott. Örvendetes, hogy a pályázókon kivül sikerült 17 további kutatót (fiatalokat és szeniorokat egyaránt) megnyerni témáinknak, melyeket - némi önkénnyel - igy csoportositok (a számok a közlemények sorszámai a zárójelentésből): 1. Ramsey elmélet. Kiemelem a regularitás lemma új alkalmazásait, melyek a terület előtérben lévő kutatásaihoz tartoznak, pl. 3,4,8,9,10,16,17 - legtöbbjükben társszerző Szemerédi Endre is. Jelentős cikknek tartom a 6. könyvfejezetet is, mely egy utóbbi időben egyre aktivabb területet foglal össze. 2. Gallai szinezések. Ez valójában a Ramsey elmélet ás extremális kombinatorika határán van, izgalmas, de nehéz kérdéseket vet fel Gallai egy alapvető technikájának általánositási lehetőségeiről, 1,11,18. 3. Kódok és extremális problémák. Kiemelendő Füredi és Ruszinkó 23-as igen tartalmas és gondosan megirt cikke, melyet az Advances in Mathematicshoz nyujtottak be és 7. cikk, mely gráfok perfektségének alapvető mértékszámát kapcsolja össze a Ramsey gráfok elméletével. Néhány további eredményünk (14, 19,20,21) nem kapcsolódik alapvető témákhoz, de azokban is új eredményeket fejlesztünk tovább az extremális gráf és hipergráfelmélet területéről. | During the four year project 17 papers are published, 2 in press, 2 are accepted and 2 are submitted. We are glad that apart from the three persons participating in the project, we could attract 17 further researchers (both young and seniors) to our subjects. Somewhat arbitrarily, these subjects can be grouped as follows (the numbers refer to the numbering of the list of publications). 1.Ramsey theory. I pinpoint some new applications of the Regularity Lemma related to recent research areas, namely 3,4,8,9,10,16,17 - most with coauthor Endre Szemerédi. I think that 6., a book chapter is also significant, reviewing an area with increasing of present activity. 2. Gallai colorings. This area is on the border of Ramsey theory and extremal combinatorics, posing exciting but difficult questions on possible extensions of a basic technique of Gallai, 1,11,18. 3. Codes and extremal problems. Here I emphasize 23, a deep and carefully written paper of Füredi and Ruszinkó submitted to Advances in Mathematics and 7, which relates a basic measure of perfectness of graphs to the theory of Ramsey graphs. Some of our further results (14,19,20,21) does not relate to basic results but still extends recent results of extremal graph and hypergraph theory

A Decomposition of Gallai Multigraphs

An edge-colored cycle is rainbow if its edges are colored with distinct colors. A Gallai (multi)graph is a simple, complete, edge-colored (multi)graph lacking rainbow triangles. As has been previously shown for Gallai graphs, we show that Gallai multigraphs admit a simple iterative construction. We then use this structure to prove Ramsey-type results within Gallai colorings. Moreover, we show that Gallai multigraphs give rise to a surprising and highly structured decomposition into directed trees

Gallai-Ramsey and vertex proper connection numbers

Given a complete graph G, we consider two separate scenarios. First, we consider the minimum number N such that every coloring of G using exactly k colors contains either a rainbow triangle or a monochromatic star on t vertices. This number is known for small cases and generalized for larger cases for a fixed k. Second, we introduce the vertex proper connection number of a graph and provide a relationship to the chromatic number of minimally connected subgraphs. Also a notion of total proper connection is introduced and a question is asked about a possible relationship between the total proper connection number and the vertex and edge proper connection numbers