Regular rapidly decreasing nonlinear generalized functions. Application to microlocal regularity

We present new types of regularity for nonlinear generalized functions, based on the notion of regular growth with respect to the regularizing parameter of Colombeau's simplified model. This generalizes the notion of G^{\infty }-regularity introduced by M. Oberguggenberger. A key point is that these regularities can be characterized, for compactly supported generalized functions, by a property of their Fourier transform. This opens the door to microanalysis of singularities of generalized functions, with respect to these regularities. We present a complete study of this topic, including properties of the Fourier transform (exchange and regularity theorems) and relationship with classical theory, via suitable results of embeddings.Comment: Submitted to the Journal of Mathematical Analysis and Application

Towards Reliable Misinformation Mitigation: Generalization, Uncertainty, and GPT-4

Misinformation poses a critical societal challenge, and current approaches have yet to produce an effective solution. We propose focusing on generalization, soft classification, and leveraging recent large language models to create more practical tools in contexts where perfect predictions remain unattainable. We begin by demonstrating that GPT-4 and other language models can outperform existing methods in the literature. Next, we explore their generalization, revealing that GPT-4 and RoBERTa-large exhibit critical differences in failure modes, which offer potential for significant performance improvements. Finally, we show that these models can be employed in soft classification frameworks to better quantify uncertainty. We find that models with inferior hard classification results can achieve superior soft classification performance. Overall, this research lays groundwork for future tools that can drive real-world progress on misinformation

Geometria de canais de comunicação

Orientador: Marcelo FirerTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Abordamos os canais de comunicação a partir de um ponto de vista geométrico. Mostramos que a decodificação por máxima verossimilhança e a decodificação por mínima distância são um caso particular de uma forma mais geral de decodificação que pode ser definida para qualquer matriz. Com base nisso, definimos uma equivalência de decodificação e mostramos que ela divide o espaço de matrizes em classes de equivalência que são regiões generalizadas de um arranjo de hiperplanos bem conhecido. Em seguida, definimos uma distância entre essas regiões que mede a probabilidade de um código aleatório ser decodificado incorretamente. Mostramos que esta distância é uma versão ponderada da distância de Kendall tau. Com isso, obtemos uma distância entre canais. Se para um canal existe uma métrica de modo que os decodificadores por máxima verossimilhança e mínima distância coincidem, o canal é metrizavel. Damos caracterizações para um canal ser metrizavel e apresentamos um algoritmo que constrói uma métrica nesse caso. Mostramos também que qualquer métrica, a menos de uma equivalência de decodificação, pode ser mergulhada isometricamente no hipercubo com a métrica de Hamming e, portanto, em termos de decodificação, a métrica de Hamming é universal. Apresentamos um algoritmo que, para qualquer métrica invariante por translação, dá um limite superior na dimensão mínima de tal mergulho. Encontramos também limitantes inferiores e superiores para essa dimensão. No apêndice, apresentamos uma contribuição teórica feita a um trabalho de navegação de mapasAbstract: We approach communication channels from a geometrical viewpoint. We show that maximum likelihood decoding and minimum distance decoding are a particular case of a more general form of decoding which can be defined for any matrix. Based on this we define a decoding equivalence and show that it partitions the space of matrices into equivalence classes which are generalized regions of a well known hyperplane arrangement: the braid arrangement. We then define a distance between these regions which measures the probability of a random code being decoded incorrectly. It is shown that this distance is a weighted variation of the Kendall tau distance. With this, we obtain a distance between channels. If for a channel there exists a metric such that the maximum likelihood and minimum distance decoders coincide, the channel is metrizable. We give characterizations for a channel to be metrizable and present an algorithm which constructs a metric in such a case. We also show that any metric, up to decoding equivalence, can be isometrically embedded into the hypercube with the Hamming metric, and thus, in terms of decoding, the Hamming metric is universal. We then present an algorithm which for any translation invariant metric gives an upper bound on the minimum dimension of such an embedding. We also give lower and upper bounds for this embedding dimension over the set of all such metrics. In the appendix we present the theoretical contribution made to a work on multi-scale navigationDoutoradoMatematica AplicadaDoutor em Matemática AplicadaCAPE