Sphericity, cubicity, and edge clique covers of graphs

AbstractThe sphericity sph(G) of a graph G is the minimum dimension d for which G is the intersection graph of a family of congruent spheres in Rd. The edge clique cover number θ(G) is the minimum cardinality of a set of cliques (complete subgraphs) that covers all edges of G. We prove that if G has at least one edge, then sph(G)⩽θ(G). Our upper bound remains valid for intersection graphs defined by balls in the Lp-norm for 1⩽p⩽∞

О РЕАЛИЗАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ГРАФОВ ГРАФАМИ РАССТОЯНИЙ И ДИАМЕТРОВ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

the realization of a random graph by geometric graphs in the space Rd. In the case of graphs of diameters we prove asymptotic behavior for the threshold probability on the plane, as well as the exact expression in the case d � 3. В данной работе рассматривается задача об отыскании пороговых вероятностей для реализации случайного графа геометрическим графом в пространстве Rd. В случае графов диаметров доказывается асимптоти­ ка для пороговой вероятности на плоскости, а также точное по порядку выражение для d � 3.