The Real Dimension Problem is NPR-complete.

We show that computing the dimension of a semi-algebraic set of R^n is an NP-complete problem in the Blum-Shub-Smale model of computation over the reals. Since this problem is easily seen to be NPR-hard, the main ingredient of the proof is an NPR algorithm for computing the dimension.On montre que le calcul de la dimension d'un ensemble semi-algébrique de R^n est un problème NP-complet dans le modèle de Blum-Shub-Smale de calcul sur les nombres réels. Puisqu'il est facile de voir que ce problème est NPR-dur, le principal ingrédient de la preuve est un algorithme NPR de calcul de la dimension

Elimination of parameters in the polynomial hierarchy

Blum, Cucker, Shub and Smale have shown that the problem "P = NP?" has the same answer in all algebraically closed elds of characteristic 0. We generalize this result to the polynomial hierarchy: if it collapses over an algebraically closed eld of characteristic 0, then it must collapse at the same level over all algebraically closed fields of characteristic 0. The main ingredient of their proof was a theorem on the elimination of parameters, which we also extend to the polynomial hierarchy. Similar but somewhat weaker results hold in positive characteristic. The present paper updates a report (LIP Research Report 97-37) with the same title, and in particular includes new results on interactive protocols and boolean parts

Elimination of parameters in the polynomial hierarchy

Blum, Cucker, Shub and Smale have shown that the problem ``\p = \np~?'' has the same answer in all algebraically closed fields of characteristic~0. We generalize this result to the polynomial hierarchy: if it collapses over an algebraically closed field of characteristic 0, then it must collapse at the same level over all algebraically closed fields of characteristic 0. The main ingredient of their proof was a theorem on the elimination of parameters, which we also extend to the polynomial hierarchy. Similar but somewhat weaker results hold in positive characteristic. The present paper updates a report (LIP Research Report 97-37) with the same title, and in particular includes new results on interactive protocols and boolean parts.Blum, Cucker, Shub et Smale ont montré que la réponse au problème ``\p = \np~?'' est la même dans tous les corps algébriquement clos de caractéristique 0. Nous généralisons ce résultat à la hiérarchie polynomiale: si elle s'effondre pour un corps algébriquement clos de caractéristique 0, alors elle s'effondre au même niveau pour tous les corps algébriquement clos de caractéristique 0. L'ingrédient principal de leur démonstration est un théorème d'élimination des paramètres, que nous étendons également à la hiérarchie polynomiale. Des résultats similaires mais un peu plus faibles s'appliquent en caractéristique positive. Cet article met à jour un rapport précédent (rapport de recherche LIP 97-37) portant le même titre, et contient notamment des résultats nouveaux sur les preuves interactives et les parties booléennes