Efficient reasoning procedures for complex first-order theories

The complexity of a set of first-order formulas results from the size of the set and the complexity of the problem described by its formulas. Decision Procedures for Ontologies This thesis presents new superposition based decision procedures for large sets of formulas. The sets of formulas may contain expressive constructs like transitivity and equality. The procedures decide the consistency of knowledge bases, called ontologies, that consist of several million formulas and answer complex queries with respect to these ontologies. They are the first superposition based reasoning procedures for ontologies that are at the same time efficient, sound, and complete. The procedures are evaluated using the well-known ontologies YAGO, SUMO and CYC. The results of the experiments, which are presented in this thesis, show that these procedures decide the consistency of all three above-mentioned ontologies and usually answer queries within a few seconds. Reductions for General Automated Theorem Proving Sophisticated reductions are important in order to obtain efficient reasoning procedures for complex, particularly undecidable problems because they restrict the search space of theorem proving procedures. In this thesis, I have developed a new powerful reduction rule. This rule enables superposition based reasoning procedures to find proofs in sets of complex formulas. In addition, it increases the number of problems for which superposition is a decision procedure.Die Komplexität einer Formelmenge für einen automatischen Theorembeweiser in Prädikatenlogik 1. Stufe ergibt sich aus der Anzahl der zu betrachtenden Formeln und aus der Komplexität des durch die Formeln beschriebenen Problems. Entscheidungsprozeduren für Ontologien Diese Arbeit entwickelt effiziente auf Superposition basierende Beweisprozeduren für sehr große entscheidbare Formelmengen, die ausdrucksstarke Konstrukte, wie Transitivität und Gleichheit, enthalten. Die Prozeduren ermöglichen es Wissenssammlungen, sogenannte Ontologien, die aus mehreren Millionen Formeln bestehen, auf Konsistenz hin zu überprüfen und Antworten auf komplizierte Anfragen zu berechnen. Diese Prozeduren sind die ersten auf Superposition basierten Beweisprozeduren für große, ausdrucksstarke Ontologien, die sowohl korrekt und vollständig, als auch effizient sind. Die entwickelten Prozeduren werden anhand der weit bekannten Ontologien YAGO, SUMO und CYC evaluiert. Die Experimente zeigen, dass diese Prozeduren die Konsistenz aller untersuchten Ontologien entscheiden und Anfragen in wenigen Sekunden beantworten. Reduktionen für allgemeines Theorembeweisen Um effiziente Prozeduren für das Beweisen in sehr schwierigen und insbesondere in unentscheidbaren Formelmengen zu erhalten, sind starke Reduktionsregeln, die den Beweisraum einschränken, von essentieller Bedeutung. Diese Arbeit entwickelt eine neue mächtige Reduktionsregel, die es Superposition ermöglicht Beweise in sehr schwierigen Formelmengen zu finden und erweitert die Menge von Problemen, für die Superposition eine Entscheidungsprozedur ist

Superposition modulo theory

This thesis is about the Hierarchic Superposition calculus SUP(T) and its application to reasoning in hierarchic combinations FOL(T) of the free first-order logic FOL with a background theory T where the hierarchic calculus is refutationally complete or serves as a decision procedure. Particular hierarchic combinations covered in the thesis are the combinations of FOL and linear and non-linear arithmetic, LA and NLA resp. Recent progress in automated reasoning has greatly encouraged numerous applications in soft- and hardware verification and the analysis of complex systems. The applications typically require to determine the validity/unsatisfiability of quantified formulae over the combination of the free first-order logic with some background theories. The hierarchic superposition leverages both (i) the reasoning in FOL equational clauses with universally quantified variables, like the standard superposition does, and (ii) powerful reasoning techniques in such theories as, e.g., arithmetic, which are usually not (finitely) axiomatizable by FOL formulae, like modern SMT solvers do. The thesis significantly extends previous results on SUP(T), particularly: we introduce new substantially more effective sufficient completeness and hierarchic redundancy criteria turning SUP(T) to a complete or a decision procedure for various FOL(T) fragments; instantiate and refine SUP(T) to effectively support particular combinations of FOL with the LA and NLA theories enabling a fully automatic mechanism of reasoning about systems formalized in FOL(LA) or FOL(NLA).Diese Arbeit befasst sich mit dem hierarchischen Superpositionskalkül SUP(T) und seiner Anwendung auf hierarchischen Kombinationen FOL(T) der freien Logik erste Stufe FOL und einer Hintergrundtheorie T, deren hierarchischer Kalkül widerlegungsvollständig ist oder als Entscheidungsverfahren dient. Die behandelten hierarchischen Kombinationen sind im Besonderen die Kombinationen von FOL und linearer und nichtlinearer Arithmetik, LA bzw. NLA. Die jüngsten Fortschritte in dem Bereich des automatisierten Beweisens haben zahlreiche Anwendungen in der Soft- und Hardwareverifikation und der Analyse komplexer Systeme hervorgebracht. Die Anwendungen erfordern typischerweise die Gültigkeit/Unerfüllbarkeit quantifizierter Formeln über Kombinationen der freien Logik erste Stufe mit Hintergrundtheorien zu bestimmen. Die hierarchische Superposition verbindet beides: (i) das Beweisen über FOL-Klauseln mit Gleichheit und allquantifizierten Variablen, wie in der Standardsuperposition, und (ii) mächtige Beweistechniken in Theorien, die üblicherweise nicht (endlich) axiomatisierbar durch FOL-Formeln sind (z. B. Arithmetik), wie in modernen SMT-Solvern. Diese Arbeit erweitert frühere Ergebnisse über SUP(T) signifikant, im Besonderen führen wir substantiell effektiverer Kriterien zur Bestimmung der hinreichenden Vollständigkeit und der hierarchischen Redundanz ein. Mit diesen Kriterien wird SUP(T) widerlegungsvollständig beziehungsweise ein Entscheidungsverfahren für verschiedene FOL(T)-Fragmente. Weiterhin instantiieren und verfeinern wir SUP(T), um effektiv die Kombinationen von FOL mit der LA- und der NLA-Theorie zu unterstützen, und erhalten eine vollautomatische Beweisprozedur auf Systemen, die in FOL(LA) oder FOL(NLA) formalisiert werden können