Labelled superposition

The work presented in this thesis consists of two parts: The first part presents a formalization of the splitting rule for case analysis in superposition and a proof of its correctness, as well as the integration into splitting of a novel approach to lemma learning, which allows the derivation of non-ground lemmas. The second part deals with the application of hierarchic superposition, and in particular superposition modulo linear arithmetic SUP(LA), to the verification of timed and probabilistic timed systems. It contains the following three main contributions: Firstly, a SUP(LA) decision procedure for reachability in timed automata, which is among the first decision procedures for free first-order logic modulo linear arithmetic; secondly, an automatic induction rule for SUP(LA) based on loop detection, whose application allows a generalization of the decidability result for timed automata to timed automata with unbounded integer variables; and thirdly, a formalism for modelling probabilistic timed systems with first-order background theories, as well as a novel approach for the analysis of such systems based on a reduction to model checking using SUP(LA) proof enumeration.Diese Arbeit besteht aus zwei Teilen: Im ersten Teil wird die Splitting-Regel zur Fallunterscheidung im Superpositionskalkül formalisiert und die Korrektheit der Formalisierung bewiesen. Ausserdem wird die Splitting-Regel mit einem neuartigen Verfahren zum Lernen von Lemmata erweitert, welches das Lernen von nicht-grund Lemmata erlaubt. Der zweite Teil befasst sich mit der Anwendung des hierarchischen Superpositionskalküls, insbesondere von Superposition modulo linearer Arithmetik SUP(LA), zur Verifikation von Echtzeit- und probabilistischen Echtzeitsystemen. Die drei wichtigsten Beiträge in diesem Teil sind: Erstens, ein SUP(LA)-basiertes Entscheidungsverfahren für Timed Automata, welches zu den ersten Entscheidungsverfahren für die hierarchische Kombination der freien Logik erster Stufe mit linear Arithmetik gehört; zweitens, eine Regel zur automatischen Induktion in SUP(LA), die auf der Erkennung von Schleifen basiert, und dank derer das Entscheidbarkeitsresultat für Timed Automata hin zu Timed Automata mit unbeschränkten Integer-Variablen verallgemeinert wird; und drittens, ein Formalismus zur Modellierung probabilistischer Echtzeitsysteme mit Hintergrundtheorien erster Stufe, sowie ein neuartiges Verfahren zur Analyse ebensolcher Systeme, welches auf einer Aufzählung von Erreichbarkeitsbeweisen in SUP(LA) sowie einer Zurückführung auf das Model Checking-Verfahren basiert

Saturation-based decision procedures for fixed domain and minimal model validity

Superposition is an established decision procedure for a variety of first-order logic theories represented by sets of clauses. A satisfiable theory, saturated by superposition, implicitly defines a minimal Herbrand model for the theory. This raises the question in how far superposition calculi can be employed for reasoning about such minimal models. This is indeed often possible when existential properties are considered. However, proving universal properties directly leads to a modification of the minimal model's termgenerated domain, as new Skolem functions are introduced. For many applications, this is not desired because it changes the problem. In this thesis, I propose the first superposition calculus that can explicitly represent existentially quantified variables and can thus compute with respect to a given fixed domain. It does not eliminate existential variables by Skolemization, but handles them using additional constraints with which each clause is annotated. This calculus is sound and refutationally complete in the limit for a fixed domain semantics. For saturated Horn theories and classes of positive formulas, the calculus is even complete for proving properties of the minimal model itself, going beyond the scope of known superpositionbased approaches. The calculus is applicable to every set of clauses with equality and does not rely on any syntactic restrictions of the input. Extensions of the calculus lead to various new decision procedures for minimal model validity. A main feature of these decision procedures is that even the validity of queries containing one quantifier alternation can be decided. In particular, I prove that the validity of any formula with at most one quantifier alternation is decidable in models represented by a finite set of atoms and that the validity of several classes of such formulas is decidable in models represented by so-called disjunctions of implicit generalizations. Moreover, I show that the decision of minimal model validity can be reduced to the superposition-based decision of first-order validity for models of a class of predicative Horn clauses where all function symbols are at most unary.Superposition ist eine bewährte Entscheidungsprozedur für eine Vielzahl von Theorien in Prädikatenlogik erster Stufe, die durch Klauseln repräsentiert sind. Eine erfüllbare und bezüglich Superposition saturierte Theorie definiert ein minimales Herbrand-Modell dieser Theorie. Dies wirft die Frage auf, inwiefern Superpositionskalküle zur Argumentation in solchen minimalen Modellen verwendet werden können. Das ist bei der Betrachtung existenziell quantifizierter Eigenschaften tatsächlich oft möglich. Die Analyseuniversell quantifizierter Eigenschaften führt jedoch unmittelbar zu einer Modifizierung der termgenerierten Domäne des minimalen Modells, da neue Skolemfunktionen eingeführt werden. Für viele Anwendungen ist dies unerwünscht, da es die Problemstellung verändert. In dieser Arbeit stelle ich den ersten Superpositionskalkül vor, der existenziell quantifizierte Variablen explizit darstellen und daher Berechnungen über einer gegebenen festen Domäne anstellen kann. In ihm werden existenziell quantifizierte Variablen nicht durch Skolemisierung eliminiert sondern mithilfe zusätzlicher Constraints gehandhabt, mit denen jede Klausel versehen wird. Dieser Kalkül ist korrekt und im Grenzwert widerspruchsvollständig für eine domänenspezifische Semantik. Für saturierte Horntheorien und Klassen positiver Formeln ist der Kalkül sogar korrekt für den Beweis von Eigenschaften des minimalen Modells selbst. Dies übersteigt die Möglichkeiten bisheriger superpositionsbasierter Ansätze. Der Kalkül ist auf beliebige Klauselmengen mit Gleichheit anwendbar und erlegt der Eingabe keine syntaktischen Beschränkungen auf. Erweiterungen des Kalküls führen zu verschiedenen neuen Entscheidungsverfahren für die Gültigkeit in minimalen Modellen. Ein Hauptmerkmal dieser Verfahren ist es, dass selbst die Gültigkeit von Anfragen entscheidbar ist, die einen Quantorenwechsel enthalten. Insbesondere beweise ich, dass die Gültigkeit jeder Formel mit höchstens einem Quantorenwechsel in durch endlich viele Atome repräsentierten Modellen entscheidbar ist, und gleiches gilt für die Gültigkeit mehrerer Klassen solcher Formeln in durch so genannte Disjunktionen impliziter Verallgemeinerungen repräsentieren Modellen. Außerdem zeige ich, dass für eine Klasse prädikativer Hornklauseln, bei denen alle vorkommenden Funktionssymbole maximal einstellig sind, die Entscheidbarkeit der Gültigkeit in minimalen Modellen auf superpositionsbasierte Entscheidbarkeit in Prädikatenlogik erster Stufe reduziert werden kann