Transitive and Gallai colorings

A Gallai coloring of the complete graph is an edge-coloring with no rainbow triangle. This concept first appeared in the study of comparability graphs and anti-Ramsey theory. We introduce a transitive analogue for acyclic directed graphs, and generalize both notions to Coxeter systems, matroids and commutative algebras. It is shown that for any finite matroid (or oriented matroid), the maximal number of colors is equal to the matroid rank. This generalizes a result of Erd\H{o}s-Simonovits-S\'os for complete graphs. The number of Gallai (or transitive) colorings of the matroid that use at most $k$ colors is a polynomial in $k$. Also, for any acyclic oriented matroid, represented over the real numbers, the number of transitive colorings using at most 2 colors is equal to the number of chambers in the dual hyperplane arrangement. We count Gallai and transitive colorings of the root system of type A using the maximal number of colors, and show that, when equipped with a natural descent set map, the resulting quasisymmetric function is symmetric and Schur-positive.Comment: 31 pages, 5 figure

Problemas de coloração em grafos evitando famílias de padrões de grafos completos

Nessa tese são abordados problemas dentro da Teoria Extremal de Grafos. Mais especificamente problemas de colorações de arestas, propostos inicialmente por Erdős e Rothschild. O primeiro problema considerado aqui envolve a família de padrões P*k que não contêm o padrão arco-íris KRk . Para todo k ≥ 3, apresentamos resultados em direção a obtenção de cotas inferiores e superiores para o parâmetro r0(P*k), que é o valor onde o grafo de Turán deixa de ser o grafo extremal. Ainda em relação a família P*k , apresentamos uma construção para uma cota superior ω(P*k) em relação ao parâmetro r0(P*k), onde, para todo r ≥ ω(P*k), o grafo de Turán Tk−1(n) não é mais o grafo (r,P*k)-extremal. Outra contribuição do nosso trabalho é para k = 3, e considerando o padrão K (2) 3 da família P*3 , determinamos que o parâmetro r0(K (2) 3 ) vale 26. Mais especificamente, provamos que o grafo de Turán T2(n) é o único grafo extremal, para o padrão K (2) 3 , onde 2 ≤ r ≤ 26. A principal contribuição dessa tese é a incorporação de um componente indutivo na prova desse resultado, o que nos permite explorar melhor as restrições locais e estender o resultado de [24] para todos os valores de r para os quais foi conjecturado. Por último, aplicamos a estrutura de demonstração desenvolvida na solução do problema do parágrafo acima, obtemos progresso no melhoramento da cota inferior de r0(P*4). Conseguimos encontrar uma cota inferior µ4(P*4) que melhora a cota inferior dada pelo primeiro resultado desse trabalho, mostrando assim que essa técnica tem potencial para ser empregada para melhorar resultados já existentes

Counting Gallai 3-colorings of complete graphs

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