Podstawy matematyki bez aktualnej nieskończoności

Contemporary mathematics significantly uses notions which belong to ideal mathematics (in Hilbert’s sense) – which is expressed in language which essentially uses actual infinity. However, we do not have a meaningful notion of truth for such languages. We can only reduce the notion of truth to finitistic mathematics via axiomatic theories. Nevertheless, justification of truth of axioms themselves exceeds the capabilities of the theory based on these axioms. On the other hand, we can easily decide the truth or falsity of a statement in finite structures. The aim of this dissertation is to identify the fragment of mathematics, which is of the finitistic character. The fragment of mathematics which can be described without actual infinity. This is the part of mathematics which can be described in finite models and for which the truth of its statements can be verified within finite models.We call this fragment of mathematics with a term introduced by Knuth – the concrete mathematics. This part of mathematics is of computational character and it is closer to our empirical base, which makes it more difficult. We consider concrete foundations of mathematics, in particular the concrete model theory and semantics without actual infinity. We base on the notion of FM–representability, introduced by Mostowski, as an explication of expressibility without actual infinity. By the Mostowski’s FM–representability theorem, FM–representable notions are exactly those, which are recursive with the halting problem as an oracle. We show how to express basic concepts of model theory in the language without actual infinity. We investigate feasibility of the classical model– theoretic constructions in the concrete model theory. We present the Concrete Completeness Theorem and the Low Completeness Theorem; the Concrete Omitting Types Theorem; and Preservation Theorems. We identify the constructions which are not admissible in the concrete model theory by showing stages of these constructions which are not allowed in the concrete framework. We show which arguments from the axiomatic model theory fail in the concrete model theory. Moreover, we investigate how to approximate truth for finite models. In particular we study the properties of approximate FM–truth definitions which are expressible in modal logic. We introduce modal logic SL, axioms of which mimic the properties of a specific approximate FM–truth definition. We show that SL is the modal logic of any approximate FM–truth definition. This is done by proving a theorem analogous to Solovay’s completeness theorem for modal logic GL.Współczesna matematyka w znaczącej mierze posługuje się pojęciami, które należą do matematyki idealnej (w sensie Hilberta) -- wyrażona jest w języku istotnie wykorzystującym aktualną nieskończoność. Dla tego typu języków nie posiadamy sensownego kryterium prawdziwości. Jesteśmy w stanie jedynie redukować je do matematyki skończonościowej poprzez teorie aksjomatyczne. Niemniej uzasadnianie prawdziwości samych aksjomatów znajduje się poza zasięgiem teorii na nich opartej. Z drugiej strony w strukturach skończonych jesteśmy w stanie w prosty sposób rozstrzygać prawdziwość i fałszywość twierdzeń. Celem niniejszej rozprawy jest identyfikacja fragmentu matematyki, który ma skończonościowy charakter. Fragmentu matematyki, do którego opisu nie jest niezbędna aktualna nieskończoność, a wystarczy jedynie nieskończoność potencjalna. Jest to ta część matematyki, której pojęcia można wyrazić w modelach skończonych oraz prawdziwość twierdzeń której można w nich zweryfikować. Tę część matematyki, za Knuthem, nazywamy matematyką konkretną. Ma ona obliczeniowy, kombinatoryczny charakter i jest bliższa naszemu doświadczeniu niż matematyka idealna, a co za tym idzie jest trudniejsza. Rozważamy konkretne podstawy matematyki, w szczególności konkretną teorię modeli oraz semantykę bez aktualnej nieskończoności. Opieramy się na wprowadzonym przez Mostowskiego pojęciu FM--reprezentowalności, jako eksplikacji wyrażalności bez aktualnej nieskończoności oraz twierdzeniu o FM--reprezentowalności identyfikującym FM--reprezentowalne pojęcia z tymi, które są obliczalne z problemem stopu jako wyrocznią. Pokazujemy w jaki sposób można zinterpretować podstawowe pojęcia teorii modeli w języku bez aktualnej nieskończoności. Następnie badamy klasyczne konstrukcje teoriomodelowe pod kątem ich wykonalności w obszarze matematyki konkretnej. Prezentujemy twierdzenie o konkretnej pełności oraz twierdzenie o łatwej pełności, twierdzenie o omijaniu typów oraz twierdzenia o zachowaniu. Przedstawiamy konstrukcje, które są niewykonalne dla modeli konkretnych, identyfikując etapy konstrukcji teoriomodelowych, które nie są wykonalne w teorii modeli konkretnych. Identyfikujemy argumenty z aksjomatycznej teorii mnogości, które nie są dopuszczalne w konkretnej teorii modeli. Ponadto, badamy możliwość przybliżania prawdy arytmetycznej w modelach skończonych. W szczególności rozważamy te własności przybliżonych predykatów prawdy dla modeli skończonych, które wyrażalne są w logice modalnej. Wprowadzamy logikę modalną SL, której aksjomaty odzwierciedlają własności przybliżonych predykatów prawdy. Pokazujemy, że logika SL jest logiką przybliżonych predykatów prawdy -- dowodzimy twierdzenia analogicznego do twierdzenia o pełności dla logiki GL udowodnionego przez Solovaya