Ternary shape-preserving subdivision schemes

We analyze the shape-preserving properties of ternary subdivision schemes generated by bell-shaped masks. We prove that any bell-shaped mask, satisfying the basic sum rules, gives rise to a convergent monotonicity preserving subdivision scheme, but convexity preservation is not guaranteed. We show that to reach convexity preservation the first order divided difference scheme needs to be bell-shaped, too. Finally, we show that ternary subdivision schemes associated with certain refinable functions with dilation 3 have shape-preserving properties of higher order

Positivity of refinable functions defined by nonnegative finite masks

AbstractLet (a(j)|j=0,1,…,N) with a(0),a(N)≠0 be a given nonnegative mask. Assume that the subdivision scheme with this mask is convergent. Let the associated refinable function be ϕ. So the support of ϕ is contained in [0,N]. Melkman conjectured in 1997 that unless the scheme is interpolatory and N>2 the refinable function ϕ is positive on (0,N). In the present paper we confirm this conjecture. A lower bound of ϕ on [2−m,N−2−m] is also given

Combinatorial Properties of Multivariate Subdivision Scheme with Nonnegative Masks

Unterteilungsalgorithmen liefern wichtige Techniken zur schnellen Erzeugung von Kurven und Oberflächen. Diese spielen auch eine zentrale Rolle in Wavelets. Ein Unterteilungsalgorithmus ist durch eine Maske definiert. Es ist bekannt, dass die Konvergenz dieser Algorithmen per gemeinsamen Spektralradius charakterisiert werden kann, der durch endlich viele Matrizen definiert ist. Allerdings ist die Berechnung des gemeinsamen Spektralradius im allgemeinen sehr schwierig. Unser Ziel ist es im multivariaten Fall einfach zu überprüufende Kriterien zu finden, die hinreichend und notwendig für die Konvergenz dieser Algorithmen sind. Die Einfachheit der Kriterien bedeutet, dass sich die Kriterien in polynomialer Zeit bzgl. der Masken, z.B. die Größe des Trägers von Masken, nachprüfen lassen. Nach einem einleitenden Kapitel 1 und einem grundlegenden Kapitel 2 konzentrieren wir uns daher in drei Schritten auf die Klasse der multivariaten Subdivisions-Schemata mit nichtnegativen Masken. Die Dissertation ist folgendermaßen aufgebaut: Wir beginnen zunächst in Kapitel 3 und 4 mit einer Demonstration des Zusammenhangs zwischen der Konvergenz des Subdivisions-Schemas und einiger Abbildungen für Gitter. Danach geben wir ein neues hinreichendes und notwendiges Konvergenzkriterium für nichtnegative Subdivisions-Schemata an. Theorem 3.3.1 stellt den zentralen Beitrag dieses Kapitels dar. Darauffolgend betrachten wir in Kapitel 5 und 6, dass die Konvergenz eines nichtnegativen Subdivisions-Schemas nicht von den Werten der Maske abhängt, sondern lediglich von ihrem Träger. Wir geben die unterschiedlichen Eigenschaften zwischen inneren Punkten und Randpunkten auf ihrem Träger mit Hilfe der weiterer notwendiger Konvergenzbedingung an. Dabei stellt sich heraus, dass der Zusammenhang der Matrix A eine einfache und adäquate Bedingung ist, um diese Eigenschaften zu garantieren. Im letzten Kapitel leiten wir nun einfach und schnell zu berechnende hinreichende Konvergenzbedingungen für multivariate Subdivisions-Schemata mit nichtnegativer Maske her, sofern der Träger spezielle Eigenschaften besitzt. Dabei nutzen wir obige Resultate