Continuation of connecting orbits in 3D-ODEs: (I) Point-to-cycle connections

We propose new methods for the numerical continuation of point-to-cycle connecting orbits in 3-dimensional autonomous ODE's using projection boundary conditions. In our approach, the projection boundary conditions near the cycle are formulated using an eigenfunction of the associated adjoint variational equation, avoiding costly and numerically unstable computations of the monodromy matrix. The equations for the eigenfunction are included in the defining boundary-value problem, allowing a straightforward implementation in AUTO, in which only the standard features of the software are employed. Homotopy methods to find connecting orbits are discussed in general and illustrated with several examples, including the Lorenz equations. Complete AUTO demos, which can be easily adapted to any autonomous 3-dimensional ODE system, are freely available.Comment: 18 pages, 10 figure

Tipping points in natural systems. An inventory of types, early warnings, and consequences

Hoe creatief om te gaan met de toenemende druk door de menselijke populatie en de mogelijke belangenverstrengelingen van verschillende belangenhouders die dat met zich meebrengt, bv. door systemen meerdere functies tegelijk te laten vervullen. Het KB IV-programma “groenblauwe ruimte” beoogt te onderzoeken hoe, door goed gebruik te maken van de half-natuurlijke terrestrische (‘groene’) en aquatische (‘blauwe’) ruimte, hier oplossingen kunnen worden geboden. Onderzoek heeft uitgewezen dat er in meerdere natuurlijke en menselijke systemen mogelijke ‘kantelpunten’ (Eng. ‘tipping points’) bestaan: Kleine veranderingen in factoren die van belang voor het systeem zijn, kunnen onverwacht leiden tot plotselinge grote veranderingen