On Taking Square Roots without Quadratic Nonresidues over Finite Fields

We present a novel idea to compute square roots over finite fields, without being given any quadratic nonresidue, and without assuming any unproven hypothesis. The algorithm is deterministic and the proof is elementary. In some cases, the square root algorithm runs in $\tilde{O}(\log^2 q)$ bit operations over finite fields with $q$ elements. As an application, we construct a deterministic primality proving algorithm, which runs in $\tilde{O}(\log^3 N)$ for some integers $N$.Comment: 14 page

Algorithms in algebraic number theory

In this paper we discuss the basic problems of algorithmic algebraic number theory. The emphasis is on aspects that are of interest from a purely mathematical point of view, and practical issues are largely disregarded. We describe what has been done and, more importantly, what remains to be done in the area. We hope to show that the study of algorithms not only increases our understanding of algebraic number fields but also stimulates our curiosity about them. The discussion is concentrated of three topics: the determination of Galois groups, the determination of the ring of integers of an algebraic number field, and the computation of the group of units and the class group of that ring of integers.Comment: 34 page

p-adic methods for rational points on curves of genus g2

Nel 1922 Mordell ha congetturato che ogni curva di genere maggiore o uguale a 2 ha solo un numero finito di punti a coordinate razionali. Ciò è stato dimostrato da Faltings nel 1983, ma prima di lui Chabauty ha dimostrato, nel 1941, che questo è vero nell'ipotesi aggiuntiva che il rango di Mordell-Weil della varietà Jacobiana su Q sia strettamente minore del genere della curva. Sebbene questo non dimostri la congettura di Mordell, queste idee hanno portato alla creazione di nuovi metodi per la ricerca di punti razionali su curve. Oltre agli aspetti teorici, si studieranno anche le applicazioni alla ricerca delle soluzioni di alcune equazioni diofantee