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Mini-Workshop: Positional Games
This mini-workshop focused on Positional Games and related ïŹelds. Positional Games Theory is a branch of Combinatorics whose main aim is to systematically develop an extensive mathematical basis for a variety of two-player games of perfect information and without chance moves, usually played on discrete objects. These include popular recreational games such as Tic-Tac-Toe and Hex as well as purely abstract games played on graphs and hypergraphs. Though a close relative of the classical Game Theory of von Neumann and of Nim-like games, popularized by Conway and others, Positional Games are quite diïŹerent and are more of a combinatorial nature. The subject is strongly related to several other branches of Combinatorics like Ramsey Theory, Extremal Graph and Set Theory, and the Probabilistic Method. It has also proven to be instrumental in deriving central results in Theoretical Computer Science, in particular in derandomization and algorithmization of important probabilistic tools. Despite being a relatively young topic, there are already three textbooks dedicated to Positional Games as wel
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Graph Theory
Graph theory is a rapidly developing area of mathematics. Recent years have seen the development of deep theories, and the increasing importance of methods from other parts of mathematics. The workshop on Graph Theory brought together together a broad range of researchers to discuss some of the major new developments. There were three central themes, each of which has seen striking recent progress: the structure of graphs with forbidden subgraphs; graph minor theory; and applications of the entropy compression method. The workshop featured major talks on current work in these areas, as well as presentations of recent breakthroughs and connections to other areas. There was a particularly exciting selection of longer talks, including presentations on the structure of graphs with forbidden induced subgraphs, embedding simply connected 2-complexes in 3-space, and an announcement of the solution of the well-known Oberwolfach Problem
Minimal Ramsey graphs, orthogonal Latin squares, and hyperplane coverings
This thesis consists of three independent parts.
The first part of the thesis is concerned with Ramsey theory. Given an integer , a graph is said to be \emph{-Ramsey} for another graph if in any -edge-coloring of there exists a monochromatic copy of . The central line of research in this area investigates the smallest number of vertices in a -Ramsey graph for a given . In this thesis, we explore two different directions. First, we will be interested in the smallest possible minimum degree of a minimal (with respect to subgraph inclusion) -Ramsey graph for a given . This line of research was initiated by Burr, ErdĆs, and LovĂĄsz in the 1970s. We study the minimum degree of a minimal Ramsey graph for a random graph and investigate how many vertices of small degree a minimal Ramsey graph for a given can contain. We also consider the minimum degree problem in a more general asymmetric setting. Second, it is interesting to ask how small modifications to the graph affect the corresponding collection of -Ramsey graphs. Building upon the work of Fox, Grinshpun, Liebenau, Person, and SzabĂł and Rödl and Siggers, we prove that adding even a single pendent edge to the complete graph changes the collection of 2-Ramsey graphs significantly.
The second part of the thesis deals with orthogonal Latin squares. A {\em Latin square of order } is an array with entries in such that each integer appears exactly once in every row and every column. Two Latin squares and are said to be {\em orthogonal} if, for all , there is a unique pair such that and ; a system of {\em mutually orthogonal Latin squares}, or a {\em -MOLS}, is a set of pairwise orthogonal Latin squares. Motivated by a well-known result determining the number of different Latin squares of order log-asymptotically, we study the number of -MOLS of order . Earlier results on this problem were obtained by Donovan and Grannell and Keevash and Luria. We establish new upper bounds for a wide range of values of . We also prove a new, log-asymptotically tight, bound on the maximum number of other squares a single Latin square can be orthogonal to.
The third part of the thesis is concerned with grid coverings with multiplicities. In particular, we study the minimum number of hyperplanes necessary to cover all points but one of a given finite grid at least times, while covering the remaining point fewer times. We study this problem for the grid , determining the number exactly when one of the parameters and is much larger than the other and asymptotically in all other cases. This generalizes a classic result of Jamison for . Additionally, motivated by the recent work of Clifton and Huang and Sauermann and Wigderson for the hypercube , we study hyperplane coverings for different grids over , under the stricter condition that the remaining point is omitted completely. We focus on two-dimensional real grids, showing a variety of results and demonstrating that already this setting offers a range of possible behaviors.Diese Dissertation besteht aus drei unabh\"angigen Teilen.
Der erste Teil beschĂ€ftigt sich mit Ramseytheorie. FĂŒr eine ganze Zahl nennt man einen Graphen \emph{-Ramsey} f\"ur einen anderen Graphen , wenn jede Kantenf\"arbung mit Farben einen einfarbigen Teilgraphen enthĂ€lt, der isomorph zu ist. Das zentrale Problem in diesem Gebiet ist die minimale Anzahl von Knoten in einem solchen Graphen zu bestimmen. In dieser Dissertation betrachten wir zwei verschiedene Varianten. Als erstes, beschĂ€ftigen wir uns mit dem kleinstm\"oglichen Minimalgrad eines minimalen (bezĂŒglich Teilgraphen) -Ramsey-Graphen f\"ur einen gegebenen Graphen . Diese Frage wurde zuerst von Burr, Erd\H{o}s und Lov\'asz in den 1970er-Jahren studiert. Wir betrachten dieses Problem f\"ur einen Zufallsgraphen und untersuchen, wie viele Knoten kleinen Grades ein Ramsey-Graph f\"ur gegebenes enthalten kann. Wir untersuchen auch eine asymmetrische Verallgemeinerung des Minimalgradproblems. Als zweites betrachten wir die Frage, wie sich die Menge aller -Ramsey-Graphen f\"ur verĂ€ndert, wenn wir den Graphen modifizieren. Aufbauend auf den Arbeiten von Fox, Grinshpun, Liebenau, Person und SzabĂł und Rödl und Siggers beweisen wir, dass bereits der Graph, der aus mit einer h\"angenden Kante besteht, eine sehr unterschiedliche Menge von 2-Ramsey-Graphen besitzt im Vergleich zu .
Im zweiten Teil geht es um orthogonale lateinische Quadrate. Ein \emph{lateinisches Quadrat der Ordnung } ist eine -Matrix, gef\"ullt mit den Zahlen aus , in der jede Zahl genau einmal pro Zeile und einmal pro Spalte auftritt. Zwei lateinische Quadrate sind \emph{orthogonal} zueinander, wenn f\"ur alle genau ein Paar existiert, sodass es und gilt. Ein \emph{k-MOLS der Ordnung } ist eine Menge von lateinischen Quadraten, die paarweise orthogonal sind. Motiviert von einem bekannten Resultat, welches die Anzahl von lateinischen Quadraten der Ordnung log-asymptotisch bestimmt, untersuchen wir die Frage, wie viele -MOLS der Ordnung es gibt. Dies wurde bereits von Donovan und Grannell und Keevash und Luria studiert. Wir verbessern die beste obere Schranke f\"ur einen breiten Bereich von Parametern . ZusÀtzlich bestimmen wir log-asymptotisch zu wie viele anderen lateinischen Quadraten ein lateinisches Quadrat orthogonal sein kann.
Im dritten Teil studieren wir, wie viele Hyperebenen notwendig sind, um die Punkte eines endlichen Gitters zu ĂŒberdecken, sodass ein bestimmter Punkt maximal -mal bedeckt ist und alle andere mindestens -mal. Wir untersuchen diese Anzahl f\"ur das Gitter asymptotisch und sogar genau, wenn eins von und viel gröĂer als das andere ist. Dies verallgemeinert ein Ergebnis von Jamison fĂŒr den Fall . Au{\ss}erdem betrachten wir dieses Problem f\"ur Gitter im reellen Vektorraum, wenn der spezielle Punkt ĂŒberhaupt nicht bedeckt ist. Dies ist durch die Arbeiten von Clifton und Huang und Sauermann und Wigderson motiviert, die den HyperwĂŒrfel untersucht haben. Wir konzentrieren uns auf zwei-dimensionale Gitter und zeigen, dass schon diese sich sehr unterschiedlich verhalten können