Complexity results and algorithms for Multicut on graphs of bounded clique-width

Zsfassung in dt. SpracheMulticut ist ein viel untersuchtes Problem aus dem Gebiet der Algorithmen auf Graphen. Es hat große Bedeutung in verschiedensten Gebieten, wie zum Beispiel beim Schaltungsentwurf oder in der Netzwerktheorie. Ein Multicut-Problem ist durch einen Graphen G und die so genannte Terminalmenge gegeben, die Paare von Knoten enthält. Das Ziel des Multicut-Problems ist es, alle Knotenpaare in der Terminalmenge durch Schnitte im Graphen zu trennen. Dies ist ein Problem mit hoher Rechenkomplexität, da Multicut schon auf Bäumen NP-vollständig ist.In vielen Fällen ist es nicht nur die Größe der Eingabe, die ein Problem rechnerisch komplex macht, sondern spezielle Eigenschaften der Eingabe.Diese Eigenschaften der Eingabe werden als Parameter für eine detailliertere Untersuchung von Problemen mit hoher Rechenkomplexität verwendet. Solch eine parametrisierte Komplexitätsanalyse führt manchmal zu parametrisierbaren Algorithmen (kurz: FPT-Algorithmen), die besonders effizient sind, wenn bestimmte Parameter klein sind. In mehreren Publikation wurden bereits FPT-Algorithmen für Multicut gefunden.Hierbei hat sich die Baumweite als besonders geeigneter Parameter herausgestellt. Allerdings haben auf Baumweite basierende FPT-Algorithmen einen klaren Nachteil: Sie funktionieren nur für Graphen mit wenigen Kanten.Das Ziel dieser Arbeit ist es, für Multicut eine systematische Untersuchung in Bezug auf Graphen mit beschränkter Cliquenweite durchzuführen. Cliquenweite ist ein Komplexitätsmaß für Graphen ähnlich zur Baumweite mit dem bedeutenden Unterschied, dass sie auch klein für dichte Graphen sein kann. In dieser Arbeit präsentieren wir einen effizienten FPT-Algorithmus mit der Kardinalität der Terminalmenge und der Cliquenweite von G als Parameter. Darüber hinaus zeigen wir mit einer umfangreichen Komplexitätsanalyse Grenzen dieses Ansatzes auf.Wir präsentieren auch eine Erweiterung des Cliquenweite-Metatheorems von Courcelle et al. über Graphen mit beschränkter Cliquen- weite. Abschließend beweisen wir noch, dass eine Klasse von Graphen genau dann beschränkte Baumweite hat, wenn ihre Inzidenzgraphen beschränkte Cliquenweite haben.Multicut is an extensively studied problem in the area of algorithms on graphs. It plays an important role in different fields such as circuit design or network theory. A Multicut problem is given by a graph G and the so-called terminal set which contains pairs of vertices. The aim is to find a minimal cut that separates all terminal pairs. However, even on simple graphs such as trees, Multicut is NP-complete.Often it is not just the size of the input that makes a problem computationally hard, but certain properties of the input. These properties are used as parameters for a more detailed analysis of hard problems. Such a parameterized complexity analysis sometimes leads to fixed parameter tractable (FPT) algorithms, which are especially efficient when a certain parameter is small. A number of recent results have found tractable fragments of Multicut. Especially tree-width has proven to be a useful parameter. However there is a clear drawback of FPT algorithms via tree-width: the graph has to be sparse.The goal of this thesis is to systematically study Multicut on graphs of bounded clique-width. Clique-width is a graph complexity measure similar to tree-width, but it can be small for both sparse and dense graphs. We present an efficient, fixed-parameter tractable algorithm with the size of the terminal set and the clique-width of G as parameter. Furthermore an extensive complexity analysis of Multicut on graphs of bounded clique-width establishes boundaries of this approach.We also present an extension of a metatheorem about graphs of bounded clique-width by Courcelle et al. Our extension is applicable to arbitrary structures where the clique-width of their incidence graphs is bounded. Finally we prove that a class of graphs has bounded tree-width if and only if their incidence graphs have bounded clique-width.8

Ein SAT-Ansatz zur Cliquenweite von Digraphen und eine Anwendung auf das Zählen von Modellen

Zusammenfassung in deutscher SpracheAbweichender Titel nach Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersIntroduced by Courcelle, Engelfriet, and Rozenberg, clique-width is a fundamental graph invariant that has been widely studied in discrete mathematics and computer science. Many hard problems on graphs and digraphs become tractable when restricted to graphs and digraphs of small clique-width, indeed solvable in linear time when restricted to classes of bounded clique-width. Clique-width is more general than treewidth, in the sense that algorithms parameterized by clique-width are effective on larger classes of instances than algorithms parameterized by treewidth (as there are graph classes of bounded clique-width where treewidth is unbounded, whereas small treewidth implies small clique-width). Typically algorithms for graphs of small clique-width require as input a certificate for small clique-width, which is already computationally hard to compute. In recent work Heule and Szeider presented a method for computing the clique-width of graphs based on an encoding to propositional satisfiability (SAT), which is then evaluated by a SAT solver, managing to discover the exact clique-width of various small graphs, previously unknown. Our main contribution is a generalization of the method by Heule and Szeider to directed graphs. Namely we present and implement an algorithm that, by invoking a SAT solver on a suitable instance, certifies the clique-width of a given directed graph. We exploit this implementation in two ways. First, we find the exact clique-width of various small directed graphs. Second, we implement an algorithm by Fischer, Makowsky, and Ravve and combine this and the aforementioned to an algorithm that counts models of CNFformulas of small directed incidence clique-width.4

Struktur in #SAT und QBF

Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersZsfassung in dt. SpracheIn der Komplexitätstheorie geht man davon aus, dass für zahlreiche zentrale Probleme keine effizienten Algorithmen existieren. Einige dieser Probleme lassen sich in der Praxis dennoch lösen, was üblicherweise damit begründet wird, dass praxisrelevante Instanzen "Struktur" aufweisen, die von Lösungsverfahren ausgenutzt werden kann. Die vorliegende Arbeit untersucht konkrete Ausprägungen dieses Strukturbegriffs für zwei äußerst schwierige Probleme: das Erfüllbarkeitsproblem quantifizierter boolescher Formeln (QSAT) und das Abzählproblem von Modellen aussagenlogischer Formeln (#SAT). QSAT. Die Alternierung von Existenz- und Allquantoren im Präfix quantifizierter boolescher Formeln erzeugt Abhängigkeiten unter Variablen, die von Lösungsverfahren für QSAT berücksichtigt werden müssen. Gängige Verfahren gehen davon aus, dass alle prinzipiell möglichen Abhängigkeiten tatsächlich bestehen. Oft ist jedoch nur ein Bruchteil dieser Abhängigkeiten triftig, während die übrigen, "falschen" Abhängigkeiten lediglich zu unnötigen Einschränkungen führen. Wir untersuchen Dependency Schemes als Mittel zur Identifikation solcher falscher Abhängigkeiten, mit folgenden Resultaten. * Wir zeigen, dass das Resolution-Path Dependency Scheme in Polynomialzeit berechnet werden kann. Unter den derzeit bekannten Dependency Schemes erkennt das Resolution-Path Dependency Scheme eine maximale Menge falscher Abhängigkeiten. * Wir definieren notwendige und hinreichende Bedingungen für den Einsatz von Dependency Schemes in suchbasierten Algorithmen für QSAT und zeigen, dass diese Bedingungen von den in DepQBF implementierten Dependency Schemes sowie einer Variante des Resolution-Path Dependency Schemes erfüllt werden. * Dependency Schemes waren ursprünglich zum Verschieben von Quantoren im Präfix quantifizierter boolescher Formeln gedacht. Wir zeigen, dass gängige Dependency Schemes eine allgemeinere Operation zur Manipulation des Präfixes erlauben, und demonstrieren, wie diese Operation zur Minimierung der Alternierungstiefe von Formeln verwendet werden kann. #SAT. Das Zählen von Modellen aussagenlogischer Formeln ist nicht nur im Allgemeinen schwer, sondern selbst für Formelklassen, für die das zugehörige Entscheidungsproblem in Polynomialzeit gelöst werden kann, beispielsweise für Horn- oder 2CNF-Formeln. Wir untersuchen den Effekt von strukturellen (über Graphenparameter definierten) Einschränkungen auf die Komplexität von #SAT und bestimmen neue Formelklassen, die das Zählen von Modellen in Polynomialzeit erlauben. * Das Kontrahieren von Modulen in Graphen ist eine gängige Technik zur Vereinfachung kombinatorischer Optimierungsprobleme. Wir definieren die modulare Baumweite eines Graphen als seine Baumweite nach dem Kontrahieren von Modulen und zeigen, dass #SAT für Formeln, deren Inzidenzgraphen beschränkte modulare Baumweite haben, in Polynomialzeit gelöst werden kann. * Die symmetrische Cliquenweite ist ein Parameter, der sowohl Baumweite als auch modulare Baumweite verallgemeinert. Wir zeigen, dass #SAT für Formelklassen, deren Inzidenzgraphen beschränkte symmetrische Cliquenweite aufweisen, in Polynomialzeit lösbar ist.Computational problems that are intractable in general can often be efficiently resolved in practice due to latent structure in real-world instances. This thesis considers structural properties that can be used in the design of more efficient algorithms for two highly intractable problems: the satisfiability problem of quantified Boolean formulas (QSAT) and propositional model counting (#SAT). QSAT. The nesting of existential and universal quantifiers in quantified Boolean formulas (QBFs) generates dependencies among variables that have to be respected by QSAT solvers. In standard decision algorithms, it is assumed that all possible variable dependencies exist. But often, only a fraction of these dependencies is realized, while the remaining, "spurious" dependencies lead to unnecessary restrictions that inhibit solver performance. We study dependency schemes as a means to identifying spurious dependencies and establish the following results. * Among dependency schemes considered in the literature, the resolution-path dependency scheme identifies a maximal set of spurious dependencies. We prove that the resolution-path dependency scheme can be computed in polynomial time. * We state sufficient conditions for the sound deployment of dependency schemes in search-based QSAT solvers and prove that these conditions are met by several dependency schemes, including those implemented in the solver DepQBF and a variant of the resolution-path dependency scheme. * We show that known dependency schemes support a reordering operation that is more powerful than quantifier shifting, and present an application to the reduction of quantifier alternations of a QBF. #SAT. The model counting problem (#SAT) asks for the number of satisfying assignments of a propositional formula in conjunctive normal form. This problem is hard even for classes that admit satisfiability testing in polynomial time, such as Horn or 2CNF formulas. We prove the following results on the complexity of #SAT with respect to structural parameters based on graph width measures, identifying new classes of formulas amenable to efficient model counting. * Contraction of modules in a graph is a commonly used preprocessing step in combinatorial optimization. We define the modular treewidth of a graph as its treewidth after contraction of modules, and prove that #SAT is polynomial-time tractable for classes of formulas with incidence graphs of bounded modular treewidth. * Symmetric clique-width is a graph parameter that generalizes treewidth as well as modular treewidth. We show that #SAT is polynomial-time tractable for classes of formulas with incidence graphs of bounded symmetric clique-width.14

Fine-Grained Parameterized Algorithms on Width Parameters and Beyond

Die Kernaufgabe der parameterisierten Komplexität ist zu verstehen, wie Eingabestruktur die Problemkomplexität beeinflusst. Wir untersuchen diese Fragestellung aus einer granularen Perspektive und betrachten Problem-Parameter-Kombinationen mit einfach exponentieller Laufzeit, d.h., Laufzeit a^k n^c, wobei n die Eingabegröße ist, k der Parameterwert, und a und c zwei positive Konstanten sind. Unser Ziel ist es, die optimale Laufzeitbasis a für eine gegebene Kombination zu bestimmen. Für viele Zusammenhangsprobleme, wie Connected Vertex Cover oder Connected Dominating Set, ist die optimale Basis bezüglich dem Parameter Baumweite bekannt. Die Baumweite gehört zu der Klasse der Weiteparameter, welche auf natürliche Weise zu Algorithmen mit dem Prinzip der dynamischen Programmierung führen. Im ersten Teil dieser Dissertation untersuchen wir, wie sich die optimale Laufzeitbasis für diverse Zusammenhangsprobleme verändert, wenn wir zu ausdrucksstärkeren Weiteparametern wechseln. Wir entwerfen neue parameterisierte Algorithmen und (bedingte) untere Schranken, um diese optimalen Basen zu bestimmen. Insbesondere zeigen wir für die Parametersequenz Baumweite, modulare Baumweite, und Cliquenweite, dass die optimale Basis von Connected Vertex Cover bei 3 startet, sich erst auf 5 erhöht und dann auf 6, wobei hingegen die optimale Basis von Connected Dominating Set bei 4 startet, erst bei 4 bleibt und sich dann auf 5 erhöht. Im zweiten Teil gehen wir über Weiteparameter hinaus und analysieren restriktivere Arten von Parametern. Für die Baumtiefe entwerfen wir platzsparende Verzweigungsalgorithmen. Die Beweistechniken für untere Schranken bezüglich Weiteparametern übertragen sich nicht zu den restriktiveren Parametern, weshalb nur wenige optimale Laufzeitbasen bekannt sind. Um dies zu beheben untersuchen wir Knotenlöschungsprobleme. Insbesondere zeigen wir, dass die optimale Basis von Odd Cycle Transversal parameterisiert mit einem Modulator zu Baumweite 2 den Wert 3 hat.The question at the heart of parameterized complexity is how input structure governs the complexity of a problem. We investigate this question from a fine-grained perspective and study problem-parameter-combinations with single-exponential running time, i.e., time a^k n^c, where n is the input size, k the parameter value, and a and c are positive constants. Our goal is to determine the optimal base a for a given combination. For many connectivity problems such as Connected Vertex Cover or Connecting Dominating Set, the optimal base is known relative to treewidth. Treewidth belongs to the class of width parameters, which naturally admit dynamic programming algorithms. In the first part of this thesis, we study how the optimal base changes for these connectivity problems when going to more expressive width parameters. We provide new parameterized dynamic programming algorithms and (conditional) lower bounds to determine the optimal base, in particular, we obtain for the parameter sequence treewidth, modular-treewidth, clique-width that the optimal base for Connected Vertex Cover starts at 3, increases to 5, and then to 6, whereas the optimal base for Connected Dominating Set starts at 4, stays at 4, and then increases to 5. In the second part, we go beyond width parameters and study more restrictive parameterizations like depth parameters and modulators. For treedepth, we design space-efficient branching algorithms. The lower bound techniques for width parameterizations do not carry over to these more restrictive parameterizations and as a result, only a few optimal bases are known. To remedy this, we study standard vertex-deletion problems. In particular, we show that the optimal base of Odd Cycle Transversal parameterized by a modulator to treewidth 2 is 3. Additionally, we show that similar lower bounds can be obtained in the realm of dense graphs by considering modulators consisting of so-called twinclasses