Church-Rosser Systems, Codes with Bounded Synchronization Delay and Local Rees Extensions

What is the common link, if there is any, between Church-Rosser systems, prefix codes with bounded synchronization delay, and local Rees extensions? The first obvious answer is that each of these notions relates to topics of interest for WORDS: Church-Rosser systems are certain rewriting systems over words, codes are given by sets of words which form a basis of a free submonoid in the free monoid of all words (over a given alphabet) and local Rees extensions provide structural insight into regular languages over words. So, it seems to be a legitimate title for an extended abstract presented at the conference WORDS 2017. However, this work is more ambitious, it outlines some less obvious but much more interesting link between these topics. This link is based on a structure theory of finite monoids with varieties of groups and the concept of local divisors playing a prominent role. Parts of this work appeared in a similar form in conference proceedings where proofs and further material can be found.Comment: Extended abstract of an invited talk given at WORDS 201

Local divisors in formal languages

Regular languages are exactly the class of recognizable subsets of the free monoid. In particular, the syntactic monoid of a regular language is finite. This is the starting point of algebraic language theory. In this thesis, the algebraic connection between regular languages and monoids is studied using a certain monoid construction - local divisors. Using the local divisor construction, we give a Rees decomposition of a monoid into smaller parts - the monoid is a Rees extension of a submonoid and a local divisor. Iterating this concept gives an iterated Rees decomposition of a monoid into groups appearing in the monoid. This decomposition is similar to the synthesis theorem of Rhodes and Allen. In particular, the Rees decomposition shows that closure of a variety V of finite monoids under Rees extensions is the variety H̅ induced by the groups H contained in V. Due to the connection between H̅ and local divisors, we turn our attention to a language description of H̅. The language description is a continuation of classical work of Schützenberger. He studied prefix codes of bounded synchronization delay and used those codes to give a language description of H̅ in the case that the variety H of groups contains only abelian groups. We use the local divisor approach to generalize Schützenberger's language description of H̅ for all varieties H of finite groups. The main ingredient of this generalization is the concept of group-controlled stars. The group-controlled star is an operation on prefix codes of bounded synchronization delay which generalizes the usual Kleene star. The language class SDH(A∞) is the smallest class which contains all finite languages and is closed under union, concatenation product and group-controlled stars for groups in H. We show that SDH(A∞) is the language class corresponding to H̅. As a by-product of the proof we give another language characterization of H̅: the localizable closure LocH(A∞) of H. In the last part of this thesis, we deal with Church-Rosser congruential languages (CRCL). A language is Church-Rosser congruential if it is a finite union of congruence classes modulo a finite, confluent and length-reducing semi-Thue system. This yields a linear time algorithm for the membership problem of a fixed language in CRCL. A natural question, which was open for over 25 years, is whether all regular languages are in CRCL. We give an affirmative answer to this question by proving a stronger statement: for every regular language L and for every weight, there exists a finite, confluent and weight-reducing semi-Thue system S such that A*/S is finite and recognizes L. Lifting the result from the special case of length-reducing to weight-reducing allows the use of local divisors. Next, we focus on Parikh-reducing Church-Rosser systems for regular languages. Instead of constructing a semi-Thue system for a fixed weight, a Parikh-reducing Church-Rosser system is weight-reducing for every weight. We construct such systems for all languages in A̅b̅, that is, for all languages such that the groups in the syntactic monoid are abelian. Additionally, small changes in the proof of this result also yield that for all languages L over a two letter alphabet there exists a Parikh-reducing Church-Rosser system S of finite index such that L is recognized by A*/S. Lastly, we deal with the size of the monoid A*/S for the constructed systems S. We show that in the group case this size has an exponential lower bound and a triple exponential upper bound. The key observation is that one can restrict the alphabet used in the inductive construction. Using the same observation, one can lower the upper bound in the general monoid case from a non-primitive function without this optimization to a quadruple exponential upper bound.Die Klasse der regulären Sprachen entspricht genau den erkennbaren Sprachen über dem freien Monoid. Äquivalent dazu ist die Klasse der Sprachen, deren syntaktisches Monoid endlich ist. Dies ist der Ausgangspunkt der algebraischen Sprachtheorie. In dieser Arbeit wird dieser algebraische Zusammenhang zwischen regulären Sprachen und Monoiden mit Hilfe einer Monoid-Konstruktion untersucht: den lokalen Divisoren. Zunächst werden lokale Divisoren benutzt um ein Monoid in kleinere Teile zu zerlegen. Die dabei verwendete Konstruktion ist ähnlich zur Rees-Matrix-Halbgruppe und liefert eine Zerlegung eines Monoids als sogenannte Rees-Erweiterung eines echten Untermonoids und eines lokalen Divisors. Wiederholtes Anwenden dieses Sachverhalts führt dann auf eine Rees-Zerlegung, bei der die grundlegenden Bausteine Gruppen sind, die im ursprünglichen Monoid vorkommen. Diese Zerlegung ist ähnlich zum Synthese-Theorem von Rhodes und Allen. Insbesondere liefert dies, dass der Abschluss einer Varietät V unter Rees-Erweiterungen die Varietät H̅ ist, wobei H die Varietät der endlichen Gruppen ist, die in V vorkommen. Aufgrund des Zusammenhangs zwischen lokalen Divisoren und den Varietäten H̅, werden als nächstes Sprachbeschreibungen der Varietäten H̅ untersucht. Dabei wird die Arbeit von Schützenberger über Sprachcharakterisierungen mit Hilfe von Präfix-Codes mit beschränkter Synchronisierungsverzögerung (englisch: bounded synchronization delay) fortgesetzt. Schützenberger benutzte diese Codes um die Varietäten der Form H̅ zu beschreiben, wobei V eine Varietät von endlichen abelschen Gruppen ist. Wir verallgemeinern seine Beschreibung um H̅ für alle Varietäten H von endlichen Gruppen zu charakterisieren. Das Hauptkonzept dieser Verallgemeinerung sind gruppen-kontrollierte Sterne. Dabei sind gruppen-kontrollierte Sterne Sprachoperationen, die auf Präfix-Codes mit beschränkter Synchronisierungsverzögerung aufbauen und als Spezialfall für die triviale Gruppe den Kleene-Stern liefern. Die Sprachklasse SDH(A∞) ist die kleinste Klasse von Sprachen, die alle endlichen Sprachen enthält und abgeschlossen ist unter Vereinigung, Konkatenationsprodukt und gruppen-kontrollierten Sternen, wobei die Gruppen aus H sind. Wir zeigen, dass SDH(A∞) die zu H̅ zugehörige Sprachklasse ist. Als Nebenprodukt des Beweises dieser Sprachcharakterisierung geben wir eine weitere Charakterisierung von H̅ an: der lokale Abschluss LocH(A∞) von H. Der letzte Abschnitt dieser Arbeit handelt von der Sprachklasse CRCL (Church-Rosser congruential languages). Eine Sprache ist in CRCL, falls sie eine endliche Vereinigung von Kongruenzklassen eines endlichen, konfluenten und längenreduzierenden Ersetzungssystems ist. Dies liefert direkt einen Linearzeit-Algorithmus für das Wortproblem von Sprachen aus CRCL. Eine 25 Jahre lang offene Fragestellung war, ob alle regulären Sprachen in CRCL enthalten sind. Wir beantworten diese Frage positiv, indem wir eine stärkere Aussage beweisen: Für alle regulären Sprachen L und alle Gewichtsfunktionen gibt es ein endliches, konfluentes und gewichtsreduzierendes Ersetzungssystem S, für das A*/S endlich ist und L erkennt. Durch das Erweitern der Aussage auf alle Gewichtsfunktionen erlaubt dies die Benutzung von lokalen Divisoren. Als nächstes werden Parikh-reduzierende Church-Rosser-Ersetzungssysteme betrachtet. Diese repräsentieren eine Vertauschung der Quantorenreihenfolge: Ein Parikh-reduzierendes Ersetzungssystem ist gewichtsreduzierend für alle Gewichtsfunktionen. Wir konstruieren solche Systeme für alle Sprachen in der Varietät A̅b̅, d.h. für alle Sprachen, in denen die im syntaktischem Monoid vorkommenden Gruppen abelsch sind. Zusätzlich liefert eine Abwandlung dieses Beweises dasselbe Resultat für alle regulären Sprachen über einem zwei-elementigem Alphabet. Als letztes beschäftigt sich die Arbeit mit Abschätzungen für die Größe von A*/S für die zuvor konstruierten Systeme S. Im Fall von Gruppensprachen ist die Größe von unten durch eine Exponentialfunktion und von oben durch eine dreifache Exponentialfunktion beschränkt. Für die obere Schranke wird dabei eine Beobachtung benutzt, wie man das Alphabet in der Induktion beschränken kann. Mit Hilfe dieser Beobachtung ist es ebenfalls möglich die obere Schranke im Monoid-Fall von einer nicht primitiven Funktion auf eine vierfach exponentielle Funktion zu reduzieren

Three Risky Decades: A Time for Econophysics?

Our Special Issue we publish at a turning point, which we have not dealt with since World War II. The interconnected long-term global shocks such as the coronavirus pandemic, the war in Ukraine, and catastrophic climate change have imposed significant humanitary, socio-economic, political, and environmental restrictions on the globalization process and all aspects of economic and social life including the existence of individual people. The planet is trapped—the current situation seems to be the prelude to an apocalypse whose long-term effects we will have for decades. Therefore, it urgently requires a concept of the planet's survival to be built—only on this basis can the conditions for its development be created. The Special Issue gives evidence of the state of econophysics before the current situation. Therefore, it can provide excellent econophysics or an inter-and cross-disciplinary starting point of a rational approach to a new era