A version of Tutte's polynomial for hypergraphs

Tutte's dichromate T(x,y) is a well known graph invariant. Using the original definition in terms of internal and external activities as our point of departure, we generalize the valuations T(x,1) and T(1,y) to hypergraphs. In the definition, we associate activities to hypertrees, which are generalizations of the indicator function of the edge set of a spanning tree. We prove that hypertrees form a lattice polytope which is the set of bases in a polymatroid. In fact, we extend our invariants to integer polymatroids as well. We also examine hypergraphs that can be represented by planar bipartite graphs, write their hypertree polytopes in the form of a determinant, and prove a duality property that leads to an extension of Tutte's Tree Trinity Theorem.Comment: 49 page

Graph Theory

This workshop focused on recent developments in graph theory. These included in particular recent breakthroughs on nowhere-zero flows in graphs, width parameters, applications of graph sparsity in algorithms, and matroid structure results

Hypergraph polynomials and the Bernardi process

Recently O. Bernardi gave a formula for the Tutte polynomial $T(x,y)$ of a graph, based on spanning trees and activities just like the original definition, but using a fixed ribbon structure to order the set of edges in a different way for each tree. The interior polynomial $I$ is a generalization of $T(x,1)$ to hypergraphs. We supply a Bernardi-type description of $I$ using a ribbon structure on the underlying bipartite graph $G$. Our formula works because it is determined by the Ehrhart polynomial of the root polytope of $G$ in the same way as $I$ is. To prove this we interpret the Bernardi process as a way of dissecting the root polytope into simplices, along with a shelling order. We also show that our generalized Bernardi process gives a common extension of bijections (and their inverses) constructed by Baker and Wang between spanning trees and break divisors.Comment: 46 page

A fermionic field theory for spanning hyperforests

Il modello di Potts generalizza il modello di Ising del ferromagnetismo assumendo che le variabili di spin possano assumere q stati distinti. L'interazione tra i primi vicini è a due soli valori a seconda che questi si trovino nello stesso stato o in stati differenti. Nonostante questo modello abbia ricevuto inizialmente poca attenzione, fin dagli anni '70 è stato oggetto di grande interesse a seguito del suo ricco comportamento critico e dei suoi stretti legami con alcuni problemi di statistica su reticolo, di combinatoria e di teoria dei grafi. Nel 1972 Fortuin e Kasteleyn mostrarono che è possibile estendere la definizione del modello di Potts anche a valori di q non interi. Nel caso in cui l'interazione sia esclusivamente ferromagnetica, questa estensione definisce una misura di probabilità, nota con il nome di random-cluster model, che include come caso particolare (q=1) il già noto modello di percolazione. In questa tesi considereremo in particolar modo il limite q -> 0 del modello di Potts. Questo caso limite ha un particolare significato combinatorio, infatti la funzione di partizione del modello di Potts corrisponde per q -> 0 alla funzione generatrice delle foreste massimali sul grafo in cui il modello è definito. Il limite q -> 0 del modello di Potts acquista ulteriore interesse a seguito della recente scoperta per cui esso può essere descritto da una teoria fermionica contenente un termine Gaussiano e uno speciale accoppiamento a quattro fermioni. Questa teoria fermionica risulta essere equivalente, ad ogni ordine perturbativo, al modello O(N) prolungato analiticamente a N = -1 e ad un modello sigma non lineare con gruppo di (super) simmetria OSP(1|2). Questa corrispondenza, seppur perturbativa, ci segnala che, in due dimensioni, questa teoria è asintoticamente libera come gran parte dei modelli sigma non-lineari e le teorie di gauge non-abeliane in quattro dimensioni. In questo lavoro viene sviluppata un estensione della teoria fermionica sopracitata al caso in cui siano presenti interazioni a più corpi. Generalizzando opportunamente il modello di Potts per includere tali interazioni, si mostra come nel limite q -> 0 la funzione di partizione di questo modello si riconduca alla funzione generatrice delle iperforeste massimali sull'ipergrafo definito dall'interazione a più corpi. Viene quindi formulata in termini di variabili di Grassmann una teoria fermionica che descrive tali oggetti combinatori. Successivamente questa teoria viene studiata nell'ipotesi che le interazioni formino un ipergrafo completo. In questo caso, che fisicamente corrisponde ad una teoria di campo medio, il modello è esattamente risolubile e la funzione di partizione può essere calcolata esplicitamente. Ciò costituisce di per sé un risultato di interesse combinatorio in quanto fornisce il conteggio delle iperforeste massimali sull'ipergrafo completo. Si mostra infine questa teoria sia anch'essa in corrispondenza (sempre perturbativa) con un modello sigma non lineare con supersimmetria OSP(1|2). Viene osservato come la supersimmetria del modello \sigma non lineare induca nella teoria puramente fermionica una super-simmetria non manifesta e come questa sia in relazione con l'algebra dei prodotti scalari per N = -1

Geometric, Algebraic, and Topological Combinatorics

The 2019 Oberwolfach meeting "Geometric, Algebraic and Topological Combinatorics" was organized by Gil Kalai (Jerusalem), Isabella Novik (Seattle), Francisco Santos (Santander), and Volkmar Welker (Marburg). It covered a wide variety of aspects of Discrete Geometry, Algebraic Combinatorics with geometric flavor, and Topological Combinatorics. Some of the highlights of the conference included (1) Karim Adiprasito presented his very recent proof of the $g$-conjecture for spheres (as a talk and as a "Q\&A" evening session) (2) Federico Ardila gave an overview on "The geometry of matroids", including his recent extension with Denham and Huh of previous work of Adiprasito, Huh and Katz

Graph Theory

Highlights of this workshop on structural graph theory included new developments on graph and matroid minors, continuous structures arising as limits of finite graphs, and new approaches to higher graph connectivity via tree structures