Il modello di Potts generalizza il modello di
Ising del ferromagnetismo assumendo che le variabili di spin possano
assumere q stati distinti. L'interazione tra i primi vicini è a
due soli valori a seconda che questi si trovino nello stesso stato o
in stati differenti.
Nonostante questo modello abbia ricevuto inizialmente poca attenzione,
fin dagli anni '70 è stato oggetto di grande interesse a seguito del
suo ricco comportamento critico e dei suoi stretti legami con alcuni
problemi di statistica su reticolo, di combinatoria e di teoria dei
grafi.
Nel 1972 Fortuin e Kasteleyn mostrarono che è
possibile estendere la definizione del modello di Potts anche a valori
di q non interi. Nel caso in cui l'interazione sia esclusivamente
ferromagnetica, questa estensione definisce una misura di
probabilità, nota con il nome di random-cluster model, che include come caso particolare (q=1) il già noto modello di percolazione.
In questa tesi considereremo in particolar modo il limite q -> 0
del modello di Potts. Questo caso limite ha un
particolare significato combinatorio, infatti la funzione di
partizione del modello di Potts corrisponde per q -> 0 alla
funzione generatrice delle foreste massimali sul grafo in cui il
modello è definito.
Il limite q -> 0 del modello di Potts acquista ulteriore interesse
a seguito della recente scoperta per cui esso
può essere descritto da una teoria fermionica contenente un termine
Gaussiano e uno speciale accoppiamento a quattro fermioni. Questa
teoria fermionica risulta essere equivalente, ad ogni ordine
perturbativo, al modello O(N) prolungato analiticamente a N = -1 e
ad un modello sigma non lineare con gruppo di (super) simmetria OSP(1|2).
Questa corrispondenza, seppur perturbativa, ci segnala che, in due
dimensioni, questa teoria è asintoticamente libera come gran parte
dei modelli sigma non-lineari e le teorie di gauge non-abeliane in
quattro dimensioni.
In questo lavoro viene sviluppata un estensione della teoria
fermionica sopracitata al caso in cui siano presenti interazioni a
più corpi.
Generalizzando opportunamente il modello di Potts per includere tali
interazioni, si mostra come nel limite q -> 0 la funzione di
partizione di questo modello si riconduca alla funzione generatrice
delle iperforeste massimali sull'ipergrafo definito dall'interazione a
più corpi. Viene quindi formulata in termini di variabili di
Grassmann una teoria fermionica che descrive tali oggetti combinatori.
Successivamente questa teoria viene studiata nell'ipotesi che le
interazioni formino un ipergrafo completo. In questo caso, che
fisicamente corrisponde ad una teoria di campo medio, il modello è
esattamente risolubile e la funzione di partizione può essere
calcolata esplicitamente. Ciò costituisce di per sé un risultato
di interesse combinatorio in quanto fornisce il conteggio delle
iperforeste massimali sull'ipergrafo completo.
Si mostra infine questa teoria sia anch'essa in corrispondenza (sempre
perturbativa) con un modello sigma non lineare con supersimmetria OSP(1|2). Viene osservato come la supersimmetria del modello
\sigma non lineare induca nella teoria puramente fermionica una
super-simmetria non manifesta e come questa sia in relazione con
l'algebra dei prodotti scalari per N = -1
