An Iteratively Decodable Tensor Product Code with Application to Data Storage

The error pattern correcting code (EPCC) can be constructed to provide a syndrome decoding table targeting the dominant error events of an inter-symbol interference channel at the output of the Viterbi detector. For the size of the syndrome table to be manageable and the list of possible error events to be reasonable in size, the codeword length of EPCC needs to be short enough. However, the rate of such a short length code will be too low for hard drive applications. To accommodate the required large redundancy, it is possible to record only a highly compressed function of the parity bits of EPCC's tensor product with a symbol correcting code. In this paper, we show that the proposed tensor error-pattern correcting code (T-EPCC) is linear time encodable and also devise a low-complexity soft iterative decoding algorithm for EPCC's tensor product with q-ary LDPC (T-EPCC-qLDPC). Simulation results show that T-EPCC-qLDPC achieves almost similar performance to single-level qLDPC with a 1/2 KB sector at 50% reduction in decoding complexity. Moreover, 1 KB T-EPCC-qLDPC surpasses the performance of 1/2 KB single-level qLDPC at the same decoder complexity.Comment: Hakim Alhussien, Jaekyun Moon, "An Iteratively Decodable Tensor Product Code with Application to Data Storage

Two Theorems in List Decoding

We prove the following results concerning the list decoding of error-correcting codes: (i) We show that for \textit{any} code with a relative distance of $\delta$ (over a large enough alphabet), the following result holds for \textit{random errors}: With high probability, for a \rho\le \delta -\eps fraction of random errors (for any \eps>0), the received word will have only the transmitted codeword in a Hamming ball of radius $\rho$ around it. Thus, for random errors, one can correct twice the number of errors uniquely correctable from worst-case errors for any code. A variant of our result also gives a simple algorithm to decode Reed-Solomon codes from random errors that, to the best of our knowledge, runs faster than known algorithms for certain ranges of parameters. (ii) We show that concatenated codes can achieve the list decoding capacity for erasures. A similar result for worst-case errors was proven by Guruswami and Rudra (SODA 08), although their result does not directly imply our result. Our results show that a subset of the random ensemble of codes considered by Guruswami and Rudra also achieve the list decoding capacity for erasures. Our proofs employ simple counting and probabilistic arguments.Comment: 19 pages, 0 figure

Product Construction of Affine Codes

Binary matrix codes with restricted row and column weights are a desirable method of coded modulation for power line communication. In this work, we construct such matrix codes that are obtained as products of affine codes - cosets of binary linear codes. Additionally, the constructions have the property that they are systematic. Subsequently, we generalize our construction to irregular product of affine codes, where the component codes are affine codes of different rates.Comment: 13 pages, to appear in SIAM Journal on Discrete Mathematic

List Decoding of Matrix-Product Codes from nested codes: an application to Quasi-Cyclic codes

A list decoding algorithm for matrix-product codes is provided when $C_1,..., C_s$ are nested linear codes and $A$ is a non-singular by columns matrix. We estimate the probability of getting more than one codeword as output when the constituent codes are Reed-Solomon codes. We extend this list decoding algorithm for matrix-product codes with polynomial units, which are quasi-cyclic codes. Furthermore, it allows us to consider unique decoding for matrix-product codes with polynomial units

On Combined Coding and Modulation

In the treatment of channel coding as a separate operation independent of the modulation, the coded set of sequences generally has a smaller channel symbol duration than the uncoded set of sequences for the same information rate. Accordingly, the power spectrum density (PSD) of the channel signals changes essentially. On the other hand, if the modulation is designed in conjunction with the channel coding, error correction can be achieved without leading to any essential changes in the PSD. In this thesis, two combined coding and modulation schemes are studied. Narrowband powerline communication (PLC) is considered as a practical application. The thesis can be divided into two parts. In the first part, combined coding and modulation scheme based on the single carrier modulation is proposed. An run-length limited (RLL) encoder is introduced between the channel encoder and the constant envelope modulator to control the minimum channel symbol duration (the minimum duration in which the channel symbol stays constant) of a set of block waveforms defined in a constant time. As a single carrier modulation, noncoherent FSK and PSK are considered. Accordingly, it is shown that high coding gains can be achieved at the same information rate without leading to an essential change in the PSD. The maximum-likelihood (ML) receiver structures are derived and investigated for the additive white Gaussian noise (AWGN) and the impulsive noise channel models. In the second part of the thesis, OFDM modulation is considered. If the discrete Fourier transform (DFT) of the transmitted OFDM symbol contains a small number of zeros or known data, there is a similarity between the inverse DFT (IDFT) and RS encoder. In practice, not all subcarriers are used to carry information. Some subcarriers are set to zero or known data (pilot symbols) for different purposes, that include channel estimation, synchronization or cancelation of the DC value. An iterative impulsive noise suppression algorithm is proposed, which exploits the impulsive noise structure in the time and frequency domain and uses the existing redundancy to decode the errors. The simulation results show that the influence of impulsive noise can be essentially reduced.Bei der klassischen Kanalcodierung wird die Datenrate durch Einfügen von Redundanzen bewusst erhöht, um dadurch eine Absicherung gegen auftretende Fehler zu erreichen. Die Erhöhung der Datenrate erfordert eine wesentliche Änderung im Power-Spektrum. Aber bei vielen Anwendungen ist eine möglichst effiziente Nutzung des Power-Spektrums gefordert. In dieser Arbeit werden Codierung und Modulation gemeinsam betrachtet, so dass die Verbesserung der Übertragungsqualität keine wesentliche Änderung in dem Power-Spektrum erfordert. Das Power-Spektrum wird durch Power-Spektrum-Dichte analysiert. Als praktische Anwendung der Arbeit wird die Schmalband-Powerline-Kommunikation (Narrowband Power Line Communication) betrachtet. Powerline ist der Begriff für die Übertragung von Daten über Stromkabel. Im Gegensatz zu konventionellen Kommunikationskanälen kann die Störung auf Stromnetze nicht als additives weißes Gaußsches Rauschen (AWGN) modelliert werden. Das ist darauf zurückzuführen, dass neben Hintergrundrauschen auch Schmalbandstörungen und insbesondere Impulsstörungen vorkommen. Beim Auftreten eines Impulses sind Bit- oder Burstfehler bei einer Datenübertragung sehr wahrscheinlich. Im ersten Teil werden Einzelträgerverfahren betrachtet. Ein sogenannter RLL- (Run-length Limited) Code wird verwendet, um die Anzahl aufeinanderfolgender Symbole mit gleichem Wert nach unten zu begrenzen. Dementsprechend wird gezeigt, dass im gemeinsamen blockweisen RLL Encoder/Modulator der minimale euklidische Abstand erhöht werden kann, ohne wesentliche Änderung in der Power-Spektrum-Dichte. Im Empfänger erfolgen Demodulation und Decodierung nicht getrennt, sondern in einem Schritt, wobei alle Vorteile der Maximum-Likelihood-Decodierung mit Verwendung von Soft-Decision erhalten bleiben. Ein wesentlich größerer Codierungsgewinn ergibt sich bei der Verkettung mit einem RS- (Reed-Solomon) Code. Zunächst werden die Auswirkungen von Impulsstörungen auf RLL-codierte Einzelträgerverfahren erläutert. Die Modellierung von Impulsstörungen als nicht-Gauß'sche Verteilungen wurde in der Literatur durch verschiedene Ansätze vorgestellt. In der Arbeit wird das Klasse-A Modell von Middleton angewendet. Im zweiten Teil der Arbeit wird OFDM- (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) Verfahren betrachtet. Insbesondere durch die Impulsstörungen werden in der Datenübertragung erhebliche Störeffekte hervorgerufen. In OFDM werden die Modulation bzw. Demodulation mit Hilfe einer IDFT bzw. DFT (Inverse Discrete Fourier Transform, Discrete Fourier Transform) ausgeführt. Die bisherigen Überlegungen zur Kompensation von Impulsstörungen behandeln nur das OFDM-Verfahren mit einer großen Anzahl von Unterträgern (>256). In diesem Fall wird die Energie des Störimpulses durch die DFT auf viele Unterträger verteilt. Wenn die Anzahl der Unterträger kleiner als 256 ist, ist die Verteilung der Störung nicht uniform. Wenn die DFT der gesendeten OFDM-Symbol eine kleine Anzahl von Nullen oder bekannten Daten enthält, gibt es eine Ähnlichkeit zwischen der IDFT und RS-Encoder. Die OFDM-Signale beinhalten häufig Pilotinformationen und zu Null gesetzte Träger in der Signalstruktur. Es werden Verfahren zur Kompensation von Impulsstörungen durch Pilotinformationen und zu Null gesetzte Träger untersucht bzw. entwickelt, die eine Steigerung der Robustheit der Datenübertragung ermöglichen. Als Zielkriterium wird dabei die Senkung der Bitfehlerrate bei einer impulsgestörten Übertragung herangezogen. Für die Modellierung von Impulsstörungen wird das vereinfachte "Klasse-A"\, Modell von Middleton verwendet